Question

【題目】已知等邊△AOB的邊長為4，以O為坐標原點，OB所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系．

（1）求點A的坐標；

（2）若直線y＝kx（k＞0）與線段AB有交點，求k的取值范圍；

（3）若點C在x軸正半軸上，以線段AC為邊在第一象限內作等邊△ACD，求直線BD的解析式．

Answer 1

【答案】（1）點A的坐標為（2，2）；（2）0＜k≤；（3）y＝x﹣4

【解析】

（1）如下圖所示，過點A作AD⊥x軸于點D，則AD＝OAsin∠AOB＝4sin60°＝2，同理OA＝2，即可求解；

（2）若直線y＝kx（k＞0）與線段AB有交點，當直線過點A時，將點A坐標代入直線的表達式得：2k＝2，解得：k＝，即可求解；

（3）證明△ACO≌△ADB（SAS），而∠DBC＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，即可求解．

解：（1）如下圖所示，過點A作AD⊥x軸于點D，

則AD＝OAsin∠AOB＝4sin60°＝，

同理OA＝2，

故點A的坐標為（2，2）；

（2）若直線y＝kx（k＞0）與線段AB有交點，

當直線過點A時，將點A坐標代入直線的表達式得：2k＝2，解得：k＝，

直線OB的表達式為：y＝0，而k＞0，

故：k的取值范圍為：0＜k≤；

（3）如下圖所示，連接BD，

∵△OAB是等邊三角形，∴AO＝AB，

∵△ADC為等邊三角形，∴AD＝AC，

∠OAC＝∠OAB+∠CAB＝60°+∠CAB＝∠DAC+∠CAB＝∠DAB，

∴△ACO≌△ADB（SAS），

∴∠AOB＝∠ABD＝60°，

∴∠DBC＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

故直線BD表達式的k值為tan60°=，

設直線BD的表達式為：y＝x+b，

將點B（4，0）代入上式得

解得：b＝﹣4，

故：直線BD的表達式為：y＝x﹣4．