Question

【題目】如圖，等邊三角形的邊長為8，點是的內心，，繞點旋轉，分別交線段、于、兩點，連接，給出下列四個結論：①點也一定是的外心；②；③四邊形的面積始終等于；④周長的最小值為6．上述結論中正確的個數是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】B

【解析】

連接OB、OC，如圖，利用等邊三角形的性質得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再證明∠BOD=∠COE，于是可判斷△BOD≌△COE，所以BD=CE，OD=OE，則可對① 進行判斷；利用S△BOD=S△COE得到四邊形ODBE的面積=S△ABC=，則可對③進行判斷；作OH⊥DE，如圖，則DH=EH，計算出S△ODE=OE2，利用S△ODE隨OE的變化而變化和四邊形ODBE的面積為定值可對②進行判斷；由于△BDE的周長=BC+DE=4+DE=4+OE，根據垂線段最短，當OE⊥BC時，OE最小，△BDE的周長最小，計算出此時OE的長則可對④進行判斷．

連接OB、OC，如圖，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60，

∵點O是等邊△ABC的內心，

∴OB=OC，OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，

∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30，

∴∠BOC=120，即∠BOE+∠COE=120，

而∠DOE=120，即∠BOE+∠BOD=120，

∴∠BOD=∠COE，

在△BOD和△COE中，

，

∴△BOD≌△COE，

∴BD=CE，OD=OE，所以①正確；

∴S△BOD=S△COE，

∴四邊形ODBE的面積=S△OBC=S△ABC=，所以③錯誤；

作OH⊥DE，如圖，則DH=EH，

∵∠DOE=120，

∴∠ODE=∠OEH=30，

∴OH=OE，HE=OH=OE，

∴DE=OE，

∴S△ODE=.OEOE=，

即S△ODE 隨OE的變化而變化，

而四邊形ODBE的面積為定值，

∴S△ODE≠S△BDE；所以②錯誤；

∵BD=CE，

∴△BDE的周長=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+OE，

當OE⊥BC時，OE最小，△BDE的周長最小，此時OE=，

∴△BDE周長的最小值=4+2=6，所以④正確.

故選：B.