Question

【題目】如圖1，正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，點P是線段AO上（不與A、O重合）的一個動點，過點P作PE⊥PB且交邊CD于點E．
（1）求證：PB=PE；
（2）過點E作EF⊥AC于點F，如圖2，若正方形ABCD的邊長為2，則在點P運動的過程中，PF的長度是否發生變化？若不變，請直接寫出這個不變的值；若變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：

如圖1，過P作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，

∵PB⊥PE，

∴∠BPE=90°，

∴∠MPB+∠EPN=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠D=90°，

∵AD∥MN，

∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°，

∴∠MPB+∠MBP=90°，

∴∠EPN=∠MBP，

Rt△PNC中，∠PCN=45°，

∴△PNC是等腰直角三角形，

∴PN=CN，

∵∠BMP=∠PNC=∠ABC=90°，

∴四邊形MBCN是矩形，

∴BM=CN，

∴BM=PN，

∴△BMP≌△PNE（ASA），

∴PB=PE；

（2）解：在P點運動的過程中，PF的長度不發生變化，理由是：

如圖2，連接OB，

∵點O是正方形ABCD對角線AC的中點，

∴OB⊥AC，

∴∠AOB=90°，

∴∠AOB=∠EFP=90°，

∴∠OBP+∠BPO=90°，

∵∠BPE=90°，

∴∠BPO+∠OPE=90°，

∴∠OBP=∠OPE，

由（1）得：PB=PE，

∴△OBP≌△FPE，

∴PF=OB，

∵AB=2，△ABO是等腰直角三角形，

∴OB= = ，

∴PF為定值是 ．

【解析】（1）作輔助線，構建全等三角形，根據ASA證明△BMP≌△PNE可得結論；（2）如圖2，連接OB，通過證明△OBP≌△FPE，得PF=OB，則PF為定值是 ．