Question

【題目】如圖，平面直角坐標系xOy中，一次函數y=﹣x+b（b為常數，b＞0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，半徑為5的圓⊙O與x軸正半軸相交于點C，與y軸相交于D、E兩點．

（1）若直線AB交劣弧 于P、Q兩點（異于C、D）
①當P點坐標為（3，4）時，求b值；
②求∠CPE的度數，并用含b的代數式表示弦PQ的長（寫出b的取值范圍）；
（2）當b=6時，線段AB上存在幾個點F，使∠CFE=45°？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①∵點P（3，4）在直線AB上，

∴﹣3+b=4，

∴b=7，②∵∠COE=90°，

∴∠CPE= ∠COE=45°，

如圖1，過點O作OM⊥AB于M，連接OP，

∵直線AB的解析式為y=﹣x+b①，

∴直線OM的解析式為y=x②，

聯立①②解得點M（ b， b），

∴OM2= b2，

在Rt△POM中，OP=5，根據勾股定理得，PM= = ，

∴PQ=2PM= ，

當點P和點D重合時，b=5

當OM=5時，b=﹣5 （舍）或b=5 ，

∴5≤b＜5 ，

即：PQ= （5≤b＜5 ）

（2）

解：當b=6時，線段AB上存在2個點F，使∠CFE=45°，

理由：由（1）②知，點F在劣弧 上時，∠CFE=45°，

由（1）②知，OM=5時，即：b=5 時，直線AB與⊙O相切，

當點B與點D重合時，b=5，

∴當b=6時，在5到5 之間，

∴線段AB與⊙Q有兩個交點，

即：當b=6時，線段AB上存在2個點F，使∠CFE=45°．

【解析】（1）①直接將點P的坐標代入直線y=﹣x+b中，即可求出b的值，②先求出直線OM的解析式，即可得出點M的坐標，進而得出OM，再用勾股定理即可得出PM，即可得出PQ；（2）先判斷出點F是劣弧 上時，∠CFE=45°，進而判斷b=6是線段AB與⊙O的交點的個數即可得出結論．