Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線經過A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△AMB的面積為S．
求S關于m的函數關系式，并求出S的最大值．
（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=﹣x上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：設此拋物線的函數解析式為：

y=ax2+bx+c（a≠0），

將A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三點代入函數解析式得：

解得 ，

所以此函數解析式為：y=

（2）解：∵M點的橫坐標為m，且點M在這條拋物線上，

∴M點的坐標為：（m， ），

∴S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB

= ×4×（﹣ m2﹣m+4）+ ×4×（﹣m）﹣ ×4×4

=﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8

=﹣m2﹣4m，

=﹣（m+2）2+4，

∵﹣4＜m＜0，

當m=﹣2時，S有最大值為：S=﹣4+8=4．

答：m=﹣2時S有最大值S=4

（3）解：設P（x， x2+x﹣4）．

當OB為邊時，根據平行四邊形的性質知PQ∥OB，且PQ=OB，

∴Q的橫坐標等于P的橫坐標，

又∵直線的解析式為y=﹣x，

則Q（x，﹣x）．

由PQ=OB，得|﹣x﹣（ x2+x﹣4）|=4，

解得x=0，﹣4，﹣2±2 ．

x=0不合題意，舍去．

如圖，當BO為對角線時，知A與P應該重合，OP=4．四邊形PBQO為平行四邊形則BQ=OP=4，Q橫坐標為4，代入y=﹣x得出Q為（4，﹣4）．

由此可得Q（﹣4，4）或（﹣2+2 ，2﹣2 ）或（﹣2﹣2 ，2+2 ）或（4，﹣4）．

【解析】（1）利用待定系數法，把ABC三點坐標代入解析式即可求出；（2）最值問題的基本解決策略就是函數思想，設出M的橫坐標為m，作為自變量，△AMB的面積為S為函數，由已知得S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB，分別用m的代數式表示各三角形面積，構建出二次函數，運用配方法求出最大值；（3）可分類討論：OB為邊，根據平行四邊形的性質知PQ∥OB，且PQ=OB，構建方程|﹣x﹣（ 1 2 x2+x﹣4）|=4；當BO為對角線時，A與P應該重合，OP=4．四邊形PBQO為平行四邊形，則BQ=OP=4，進而求出坐標.