Question

【題目】如圖，直線與x軸交于點M，與y軸交于點A，過點A作，交x軸于點B，以AB為邊在AB的右側作正方形ABCA1，延長A1C交x軸于點B1，以A1B1為邊在A1B1的右側作正方形A1B1C1A2…按照此規律繼續作下去，再將每個正方形分割成四個全等的直角三角形和一個小正方形，每個小正方形的每條邊都與其中的一條坐標軸平行，正方形ABCA1，A1B1C1A2，…，中的陰影部分的面積分別為S1，S2，…，Sn，則Sn可表示為_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

因為所有的正方形都相似，所以只要求出第一個陰影正方形的面積和第二個陰影正方形與第一個陰影正方形的相似比即可依此規律求解.根據題意和正方形的性質可得，所以它們的正切相等，等于，據此可求出OB的長，再用OA－OB即為第一個陰影正方形的邊長，于是S1可得；同理可求得與AB的關系，進而可求得與的關系；以此規律類推可求得Sn與S1的關系，整理即得答案.

解：在直線中，當時，；當時，；

∴，，∴，

∵，，

∴，

∴，∴．

∵正方形ABCA1中的四個小正方形都與△AOB全等，

∴第一個陰影正方形的邊長為：，

∴，

同理：，

∴，

∴，

∴，

同理可得，，…，．

故答案為：．