Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，．將△ABC繞點A逆時針旋轉60°，得到△AB'C'（點B，C的對應點分別為點B′，C′），延長C′B′分別交AC，BC于點D，E，若DE＝2，則AD的長為_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

過點E作EF⊥AC于點F，設AB＝x，BC＝2x，由旋轉的性質可得AB＝AB'＝x，∠C＝∠C'，∠BAB'＝60°，由“HL”可得Rt△ABE≌Rt△AB'E，可得∠BAE＝∠B'AE＝30°，可求BE＝x，由銳角三角函數可得EF＝，通過證明△EDF∽△ADB'，可得AD的長．

解：過點E作EF⊥AC于點F，連接AE，

∵∠ABC＝90°，

∴

設AB＝x，BC＝2x，

∵將△ABC繞點A逆時針旋轉60°，得到△AB'C'

∴AB＝AB'＝x，∠C＝∠C'，∠BAB'＝60°，

∵AB＝AB'，AE＝AE

∴Rt△ABE≌Rt△AB'E（HL）

∴∠BAE＝∠B'AE＝30°，且∠B＝90°，

∴BA＝BE＝x，

∴BE＝x，

∴EC＝x，

∵ ，且EC＝x，

∴EF＝

∵∠AB'D＝∠EFD＝90°，∠EDF＝∠ADB'，

∴△EDF∽△ADB'

∴

∴

∴AD＝

故答案為：