Question

【題目】如圖1，點E是正方形ABCD邊CD上任意一點，以DE為邊作正方形DEFG，連接BF，點M是線段BF中點，射線EM與BC交于點H，連接CM．

（1）請直接寫出CM和EM的數量關系和位置關系；

（2）把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉45°，此時點F恰好落在線段CD上，如圖2，其他條件不變，（1）中的結論是否成立，請說明理由；

（3）把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉90°，此時點E、G恰好分別落在線段AD、CD上，如圖3，其他條件不變，（1）中的結論是否成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）CM=EM，CM⊥EM，理由見解析；（2）（1）中的結論成立，理由見解析；（3）（1）中的結論成立，理由見解析.

【解析】（1）延長EM交AD于H，證明△FME≌△AMH，得到HM=EM，根據等腰直角三角形的性質可得結論；

（2）根據正方形的性質得到點A、E、C在同一條直線上，根據直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半證明即可；

（3）根據題意畫出完整的圖形，根據平行線分線段成比例定理、等腰三角形的性質證明即可．

（1）如圖1，結論：CM=EM，CM⊥EM．

理由：∵AD∥EF，AD∥BC，

∴BC∥EF，

∴∠EFM=∠HBM，

在△FME和△BMH中，

，，

∴△FME≌△BMH，

∴HM=EM，EF=BH，

∵CD=BC，

∴CE=CH，∵∠HCE=90°，HM=EM，

∴CM=ME，CM⊥EM．

（2）如圖2，連接AE，

∵四邊形ABCD和四邊形EDGF是正方形，

∴∠FDE=45°，∠CBD=45°，

∴點B、E、D在同一條直線上，

∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M為AF的中點，

∴CM=AF，EM=AF，

∴CM=ME，

∵∠EFD=45°，

∴∠EFC=135°，

∵CM=FM=ME，

∴∠MCF=∠MFC，∠MFE=∠MEF，

∴∠MCF+∠MEF=135°，

∴∠CME=360°-135°-135°=90°，

∴CM⊥ME．

（3）如圖3，連接CF，MG，作MN⊥CD于N，

在△EDM和△GDM中，

，

∴△EDM≌△GDM，

∴ME=MG，∠MED=∠MGD，

∵M為BF的中點，FG∥MN∥BC，

∴GN=NC，又MN⊥CD，

∴MC=MG，

∴MD=ME，∠MCG=∠MGC，

∵∠MGC+∠MGD=180°，

∴∠MCG+∠MED=180°，

∴∠CME+∠CDE=180°，

∵∠CDE=90°，

∴∠CME=90°，

∴（1）中的結論成立．