Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+4與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-2，0），與y軸的交點(diǎn)為C，對稱軸是x=3，對稱軸與x軸交于點(diǎn)B．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）經(jīng)過B，C的直線l平移后與拋物線交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)N，當(dāng)以B，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)D在x軸上，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）拋物線為y=-x²+x+4．（2）M的坐標(biāo)為（6，4）或（3-，-4）或（3+，-4）．（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4+，）或（4-，）或（-1+，-8+2）或（-1-，-8-2）．

解析試題分析：（1）解析式已存在，y=ax²+bx+4，我們只需要根據(jù)特點(diǎn)描述求出a，b即可．由對稱軸為-，又過點(diǎn)A（-2，0），所以函數(shù)表達(dá)式易得．
（2）四邊形為平行四邊形，則必定對邊平行且相等．因?yàn)橐阎狹N∥BC，所以MN=BC，即M、N的位置如B、C位置關(guān)系，則可分2種情形，①N點(diǎn)在M點(diǎn)右下方，即M向下平行4個(gè)單位，向右2個(gè)單位與N重合；②M點(diǎn)在N右下方，即N向下平行4個(gè)單位，向右2個(gè)單位與M重合．因?yàn)镸在拋物線，可設(shè)坐標(biāo)為（x，-x²+x+4），易得N坐標(biāo)．由N在x軸上，所以其縱坐標(biāo)為0，則可得關(guān)于x的方程，進(jìn)而求出x，求出M的坐標(biāo)．
（3）使△PBD≌△PBC，易考慮∠CBD的平分線與拋物線的交點(diǎn)．確定平分線可因?yàn)锽C=BD，可作等腰△BCD，利用三線合一，求其中線所在方程，進(jìn)而與拋物線聯(lián)立得方程組，解出P即可．
試題解析：（1）∵拋物線y=ax²+bx+4交x軸于A（-2，0），
∴0=4a-2b+4，
∵對稱軸是x=3，
∴-=3，即6a+b=0，
兩關(guān)于a、b的方程聯(lián)立解得 a=-，b=，
∴拋物線為y=-x²+x+4．
（2）∵四邊形為平行四邊形，且BC∥MN，
∴BC=MN．
①N點(diǎn)在M點(diǎn)右下方，即M向下平移4個(gè)單位，向右平移2個(gè)單位與N重合．
設(shè)M（x，-x²+x+4），則N（x+2，-x²+x），
∵N在x軸上，
∴-x²+x=0，
解得 x=0（M與C重合，舍去），或x=6，
∴x_M=6，
∴M（6，4）．
②M點(diǎn)在N右下方，即N向下平行4個(gè)單位，向右2個(gè)單位與M重合．
設(shè)M（x，- x²+x+4），則N（x-2，-x²+x+8），
∵N在x軸上，
∴-x²+x+8=0，
解得 x=3-，或x=3+，
∴x_M=3-，或3+．
∴M（3-，-4）或（3+，-4）
綜上所述，M的坐標(biāo)為（6，4）或（3-，-4）或（3+，-4）．
（3）∵OC=4，OB=3，
∴BC=5．
如果△PBD≌△PBC，那么BD=BC=5，
∵D在x軸上，
∴D為（-2，0）或（8，0）．
①當(dāng)D為（-2，0）時(shí)，連接CD，過B作直線BE平分∠DBC交CD于E，交拋物線于P₁，P₂，
此時(shí)△P₁BC≌△P₁BD，△P₂BC≌△P₂BD，
∵BC=BD，
∴E為CD的中點(diǎn)，即E（-1，2），
設(shè)過E（-1，2），B（3，0）的直線為y=kx+b，則，
解得，
∴BE：y=-x+．
設(shè)P（x，y），則有，
解得 ，或，
則P₁（4+，），P₂（4-，）．
②當(dāng)D為（8，0）時(shí)，連接CD，過B作直線BF平分∠DBC交CD于F，交拋物線于P₃，P₄，
此時(shí)△P₃BC≌△P₃BD，△P₄BC≌△P₄BD，
∵BC=BD，
∴F為CD的中點(diǎn)，即E（4，2），
設(shè)過E（4，2），B（3，0）的直線為y=kx+b，則，
解得 ，
∴BF：y=2x-6．
設(shè)P（x，y），則有，
解得 或 ，
則P₃（-1+，-8+2），P₄（-1-，-8-2）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4+，）或（4-，）或（-1+，-8+2）或（-1-，-8-2）．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．