Question

9．如圖，已知AB∥CD，AD、BC相交于點E，點F在ED上，且∠CBF=∠D．
（1）求證：FB²=FE•FA；
（2）若BF=3，EF=2，求△ABE與△BEF的面積之比．

Answer 1

分析 （1）要證明FB²=FE•FA，只要證明△FBE∽△FAB即可，根據題目中的條件可以找到兩個三角形相似的條件，本題得以解決；
（2）根據（1）中的結論可以得到AE的長，然后根據△ABE與△BEF如果底邊分別為AE和EF，則底邊上的高相等，面積之比就是AE和EF的比值．

解答 （1）證明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D．
又∵∠CBF=∠D，
∴∠A=∠CBF，
∵∠BFE=∠AFB，
∴△FBE∽△FAB，
∴$\frac{FB}{FA}=\frac{FE}{FB}$
∴FB²=FE•FA；
（2）∵FB²=FE•FA，BF=3，EF=2
∴3²=2×（2+AE）
∴$AE=\frac{5}{2}$
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{5}{4}$，
∴△ABE與△BEF的面積之比為5：4．

點評 本題考查相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．