Question

【題目】在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足為M，點C是BM延長線上一點，連接AC．
（1）如圖1，若AB=3 ，BC=5，求AC的長；
（2）如圖2，點D是線段AM上一點，MD=MC，點E是△ABC外一點，EC=AC，連接ED并延長交BC于點F，且點F是線段BC的中點，求證：∠BDF=∠CEF．

Answer 1

【答案】
（1）∵∠ABM=45°，AM⊥BM，

∴AM=BM=ABcos45°=3 × =3，

則CM=BC﹣BM=5﹣2=2，

∴AC= = = ；

（2）延長EF到點G，使得FG=EF，連接BG．

由DM=MC，∠BMD=∠AMC，BM=AM，

∴△BMD≌△AMC（SAS），

∴AC=BD，

又CE=AC，

因此BD=CE，

由BF=FC，∠BFG=∠EFC，FG=FE，

∴△BFG≌△CFE，

故BG=CE，∠G=∠E，

所以BD=BG=CE，

因此∠BDG=∠G=∠E．

【解析】（1）先由AM=BM=ABcos45°=3可得CM=2，再由勾股定理可得AC的長；（2）延長EF到點G，使得FG=EF，證△BMD≌△AMC得AC=BD，再證△BFG≌△CFE可得BG=CE，∠G=∠E，從而得BD=BG=CE，即可得∠BDG=∠G=∠E．
【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案．