Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點E是AD上的一個動點，連接BE，作點A關于BE的對稱點F，且點F落在矩形ABCD的內部，連結AF，BF，EF，過點F作GF⊥AF交AD于點G，設 =n.

（1）求證：AE=GE；
（2）當點F落在AC上時，用含n的代數式表示 的值；
（3）若AD=4AB，且以點F，C，G為頂點的三角形是直角三角形，求n的值.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：由對稱得AE=FE，∴∠EAF=∠EFA，

∵GF⊥AE，∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，

∴∠FGA=∠EFG，∴EG=EF.

∴AE=EG.

（2）

解：設AE=a，則AD=na，

當點F落在AC上時（如圖1），

由對稱得BE⊥AF，

∴∠ABE+∠BAC=90°，

∵∠DAC+∠BAC=90°，

∴∠ABE=∠DAC，

又∵∠BAE=∠D=90°，

∴△ABE~△DAC ,

∴

∵AB=DC，∴AB2=AD·AE=na·a=na2,

∵AB>0，∴AB= .

∴ .

（3）

解：設AE=a，則AD=na，由AD=4AB，則AB= .

當點F落在線段BC上時（如圖2），EF=AE=AB=a，

此時 ，∴n=4.

∴當點F落在矩形外部時，n>4.

∵點F落在矩形的內部，點G在AD上，

∴∠FCG<∠BCD，∴∠FCG<90°，

若∠CFG=90°，則點F落在AC上，由（2）得 ，∴n=16.

若∠CGF=90°（如圖3），則∠CGD+∠AGF=90°，

∵∠FAG+∠AGF=90°，

∴∠CGD=∠FAG=∠ABE，

∵∠BAE=∠D=90°，

∴△ABE~△DGC，

∴ ，

∴AB·DC=DG·AE，即（ ）2=（n-2）a·a.

解得 或 （不合題意，舍去），

∴當n=16或 時，以點F，C，G為頂點的三角形是直角三角形.

【解析】（1）因為GF⊥AF，由對稱易得AE=EF，則由直角三角形的兩個銳角的和為90度，且等邊對等角，即可證明E是AG的中點；（2）可設AE=a，則AD=na，即需要用n或a表示出AB，由BE⊥AF和∠BAE==∠D=90°，可證明△ABE~△DAC , 則 ，因為AB=DC，且DA，AE已知表示出來了，所以可求出AB，即可解答；（3）求以點F，C，G為頂點的三角形是直角三角形時的n，需要分類討論，一般分三個，∠FCG=90°，∠CFG=90°，∠CGF=90°；根據點F在矩形ABCD的內部就可排除∠FCG=90°，所以就以∠CFG=90°和∠CGF=90°進行分析解答.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用矩形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．