Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A，B為反比例函數y＝（k＞0，x＞0）上的兩個動點，以A，B為頂點構造菱形ABCD．

（1）如圖1，點A，B橫坐標分別為1，4，對角線BD∥x軸，菱形ABCD面積為，求k的值．

（2）如圖2，當點A，B運動至某一時刻，點C，點D恰好落在x軸和y軸正半軸上，此時∠ABC＝90°，求點A，B的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）A（，），點B（，）

【解析】

（1）由菱形的性質可得BD=2BE=6，AC⊥DB，由菱形的面積公式可求AC＝，設點B（4，a），則點A（1， +a），代入解析式可求a的值，從而求出k的值；

（2）過點A作AE⊥y軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，設點A（m，）由全等三角形的性質可得AE=DO=CF=m，DE＝OC＝BF＝﹣m，可表示B坐標，代入解析式可求解．

解：（1）連接AC，交BD于點E，

∵點A，B橫坐標分別為1，4，對角線BD∥x軸，

∴BE＝4﹣1＝3，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BD＝2BE＝6，AC⊥DB，

∵菱形ABCD面積為，

∴×BD×AC＝，

∴AC＝，

∴AE＝CE＝，

設點B（4，a），則點A（1， +a），

∵點A，B為反比例函數y＝（k＞0，x＞0）上的兩個點，

∴4a＝1×（+a），

∴a＝，

∴k＝4a＝；

（2）如圖，過點A作AE⊥y軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝90°，

∴四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，

∴∠ADE+∠EAD＝90°，∠EDA+∠CDO＝90°，∠DCO+∠CDO＝90°，∠BCF+∠DCO＝90°，

∴∠EAD＝∠CDO＝∠BCF，且∠AED＝∠DOC＝90°，AD＝CD，

∴△AED≌△DOC（AAS），

∴AE＝DO，ED＝OC，

同理可得：BF＝OC，CF＝DO，

設點A（m，），

∴AE＝DO＝CF＝m，DE＝OC＝BF＝﹣m，

∴點B坐標（，﹣m），

∴（﹣m）＝，

∴m1＝，m2＝﹣（舍去），

∴點A（，），點B（，）．