Question

【題目】某食品廠生產一種半成品食材，成本為2元/千克，每天的產量P（百千克）與銷售價格x（元/千克）滿足函數關系式p＝x+8．從市場反饋的信息發現，該食材每天的市場需求量q（百千克）與銷售價格x（元/千克）滿足一次函數關系，部分數據如表：

銷售價格x（元/千克）	2	4	……	10
市場需求量q（百千克）	12	10	……	4

已知按物價部門規定銷售價格x不低于2元/千克且不高于10元/千克，

（1）直接寫出q與x的函數關系式，并注明自變量x的取值范圍；

（2）當每天的產量小于或等于市場需求量時，這種食材能全部售出；當每天的產量大于市場需求量時，只能售出市場需求的量，而剩余的食材由于保質期短作廢棄處理；

①當每天的食材能全部售出時，求x的取值范圍；

②求廠家每天獲得的利潤y（百元）與銷售價格x的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，當x為多少時，y有最大值，并求出最大利潤．

Answer 1

【答案】（1）q＝﹣x+14，其中2≤x≤10；（2）①2≤x≤4，②y＝；（3）x＝時取最大值，最大利潤百元．

【解析】

（1）根據表格數據，設q與x的函數關系式為：q＝kx+b，待定系數法即可求得；

（2）①根據題意，p≤q，計算即可求得x的取值范圍；

②根據銷售利潤=銷售量（售價-進價），列出廠家每天獲得的利潤（百元）與銷售價格的函數關系；

（3）根據（2）中的條件分情況討論即可.

（1）由表格的數據，設q與x的函數關系式為：q＝kx+b

根據表格的數據得，解得，

故q與x的函數關系式為：q＝﹣x+14，其中2≤x≤10

（2）①當每天的半成品食材能全部售出時，有p≤q

即x+8≤﹣x+14，解得x≤4

又2≤x≤10，所以此時2≤x≤4

②由①可知，當2≤x≤4時，

y＝（x﹣2）p＝（x﹣2）（x+8）＝x2+7x﹣16

當4＜x≤10時，y＝（x﹣2）q﹣2（p﹣q）

＝（x﹣2）（﹣x+14）﹣2[x+8﹣（﹣x+14）]

＝﹣x2+13x﹣16

即有y＝

（3）當2≤x≤4時，

y＝x2+7x﹣16的對稱軸為x＝＝﹣7

∴當2≤x≤4時，隨x的增大而增大

∴x＝4時有最大值，y＝20

當4＜x≤10時

y＝﹣x2+13x﹣16＝﹣（x﹣）2+，

∵﹣1＜0，＞4

∴x＝時取最大值

即此時y有最大利潤百元．