Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+3與y軸交于點A，與x軸交于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A和點B，過點A作AC⊥AB交拋物線于點C，過點C作CD⊥y軸于點D，點E在線段AC上，連接ED，且ED＝EC，連接EB交y軸于點F．

（1）求拋物線的表達式；

（2）求點C的坐標；

（3）若點G在直線AB上，連接FG，當∠AGF＝∠AFB時，直接寫出線段AG的長；

（4）在（3）的條件下，點H在線段ED上，點P在平面內，當△PAG≌△PDH時，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）C（﹣6，﹣5）；（3）；（4）P（，﹣1）

【解析】

（1）先求出點A，B坐標，再代入拋物線解析式中，即可得出結論；

（2）先判斷出△AOB∽△MOA，得出，求出，進而得出直線AM的解析式為，直線AM和拋物線解析式聯立求解即可得出結論；

（3）先判斷出∠EAF＝∠BFG，進而判斷出△AFE∽△FGB，得出，再求出EF＝，BF＝，即可得出結論；

（4）先判斷出∠PAG＝∠PDH，PA＝PD，進而判斷出點P在AD的垂直平分線上，設P（m，﹣1），再判斷出△APB≌△DPE（SAS），得出PE＝BP，利用PE＝PB建立方程求解即可得出結論．

解：針對于直線y＝﹣x+3，

令x＝0，則y＝3，

∴A（0，3），

令y＝0，

則0＝﹣x+3，

∴x＝4，

∴B（4，0），

將點A（0，3），B（4，0）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c中，得，

∴，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+3；

（2）如圖1，設AC與x軸的交點為M，

∵AC⊥AB，

∴∠OAM+∠OAB＝90°，

∵∠OBA+∠OAB＝90°，

∴∠OAM＝∠OBA，

∵∠AOB＝∠MOA＝90°，

∴△AOB∽△MOA，

∴，

∴MO＝＝，

∴M（﹣，0），

∵A（0，3），

∴直線AM的解析式為y＝x+3①，

由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+3②，

聯立①②解得，或，

∴C（﹣6，﹣5）；

（3）如圖2，

∵CD⊥y軸，EC＝ED，

∴點E是CD的垂直平分線上，

∴點E在AC上，

∴E（﹣3，﹣1），

由（1）知，A（0，3），B（4，0），

∴AB＝5，AE＝5，

∴AB＝AE，

∴∠AEO＝∠ABO＝45°，

∴∠AFB＝∠AEO+∠OAE＝45°+∠OAE，∠AGF＝∠ABO+∠BFG＝45°+∠BFG，

∵∠AGF＝∠AFB，

∴∠EAF＝∠BFG，

∵∠AEF＝∠FBG＝45°，

∴△AFE∽△FGB，

∴，

∴BG＝，

∵B（4，0），E（﹣3，﹣1），

∴直線BE的解析式為y＝x﹣，

∴F（0，﹣），

∴EF＝＝，BF＝，

∴BG＝＝，

∴AG＝AB﹣BG＝；

（4）如圖3，

∵△PAG≌△PDH，

∴∠PAG＝∠PDH，PA＝PD，

∵PA＝PD，

∴點P在AD的垂直平分線上，

∵A（0，3），

∴設P（m，﹣1），

連接BP，PE，

∴PE＝m+3，BP＝，

∵D（0，﹣5），E（﹣3，﹣1），

∴DE＝5＝AB，

在△APB和△DPE中，，

∴△APB≌△DPE（SAS），

∴PE＝BP，

∴m+3＝，

∴m＝，

∴P（，﹣1）．