Question

在平面直角坐標系內，反比例函數和二次函數y=k（x²+x-1）的圖象交于點A（1，k）和點B（-1，-k）．
（1）當k=-2時，求反比例函數的解析式；
（2）要使反比例函數和二次函數都是y隨著x的增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值范圍；
（3）設二次函數的圖象的頂點為Q，當△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值．

Answer 1

（1）當k=-2時，A（1，-2），
∵A在反比例函數圖象上，
∴設反比例函數的解析式為：y=

m

x

，
代入A（1，-2）得：-2=

m

1

，
解得：m=-2，
∴反比例函數的解析式為：y=-

2

x

；

（2）∵要使反比例函數和二次函數都是y隨著x的增大而增大，
∴k＜0，
∵二次函數y=k（x²+x-1）=k（x+

1

2

）²-

5

4

k，對稱軸為：直線x=-

1

2

，
要使二次函數y=k（x²+x-1）滿足上述條件，在k＜0的情況下，x必須在對稱軸的左邊，
即x＜-

1

2

時，才能使得y隨著x的增大而增大，
∴綜上所述，k＜0且x＜-

1

2

；

（3）由（2）可得：Q（-

1

2

，-

5

4

k），
∵△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形，A點與B點關于原點對稱，（如圖是其中的一種情況）
∴原點O平分AB，
∴OQ=OA=OB，
作AD⊥OC，QC⊥OC，
∴OQ=

CQ2+OC2

=

1 4 + 25 16 k2

，
∵OA=

AD2+OD2

=

1+k2

，
∴

1 4 + 25 16 k2

=

1+k2

，
解得：k=±

2

3

3

．