Question

拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過點A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），頂點為M點．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）試判斷拋物線上是否存在一點P，使∠POM=90°．若不存在，說明理由；若存在，求出P點的坐標．
（3）試判斷拋物線上是否存在一點K，使∠OMK=90°，若不存在，說明理由；若存在，求出K點的坐標．

Answer 1

（1）根據題意，得

a+b+c=-3 9a+3b+c=-3 a-b+c=5

，解得

a=1 b=-4 c=0

，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x；

（2）拋物線上存在一點P，使∠POM=90?．
x=-

b

2a

=-

-4

2

=2，y=

4ac-b2

4a

=

-16

4

=-4，
∴頂點M的坐標為（2，-4），
設拋物線上存在一點P，滿足OP⊥OM，其坐標為（a，a²-4a），
過P點作PE⊥y軸，垂足為E；過M點作MF⊥y軸，垂足為F．
則∠POE+∠MOF=90?，∠POE+∠EPO=90?．
∴∠EPO=∠FOM．
∵∠OEP=∠MFO=90?，
∴Rt△OEP∽Rt△MFO．
∴OE：MF=EP：OF．
即（a²-4a）：2=a：4，
解得a₁=0（舍去），a₂=

9

2

，
∴P點的坐標為（

9

2

，

9

4

）；

（3）過頂點M作MN⊥OM，交y軸于點N．則∠FMN+∠OMF=90?．
∵∠MOF+∠OMF=90?，
∴∠MOF=∠FMN．
又∵∠OFM=∠MFN=90?，
∴△OFM∽△MFN．
∴OF：MF=MF：FN．即4：2=2：FN．∴FN=1．
∴點N的坐標為（0，-5）．
設過點M，N的直線的解析式為y=kx+b，則

2k+b=-4 b=-5

，
解得

k= 1 2 b=-5

，∴直線的解析式為y=

1

2

x-5，
聯立

y= 1 2 x-5 y=x2-4x

得x²-

9

2

x+5=0，解得x₁=2，x₂=

5

2

，
∴直線MN與拋物線有兩個交點（其中一點為頂點M）．
另一個交點K的坐標為（

5

2

，-

15

4

），
∴拋物線上必存在一點K，使∠OMK=90?．坐標為（

5

2

，-

15

4

）．