Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx－2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（一1，0）．

⑴求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

⑵判斷△ABC的形狀，證明你的結論；

⑶點M(m，0)是x軸上的一個動點，當CM+DM的值最小時，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2-x-2

頂點D的坐標為 (, -).

（2）△ABC是直角三角形，理由見解析；

（3）.

【解析】

（1）把點A坐標代入拋物線即可得解析式，從而求得頂點坐標；

（2）分別計算出三條邊的長度，符合勾股定理可知其是直角三角形；

（3）作出點C關于x軸的對稱點C′，則C′（0，2），OC′=2，連接C′D交x軸于點M，根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC + MD的值最小．

解：（1）∵點A（-1，0）在拋物線y=x2 +bx-2上

∴× (-1 )2 +b× (-1) –2 = 0

解得b =

∴拋物線的解析式為y=x2-x-2.

y=x2-x-2 =(x2 -3x- 4 ) =(x-)2-,

∴頂點D的坐標為 (, -).

（2）當x = 0時y = -2,

∴C（0，-2），OC = 2．

當y = 0時，x2-x-2 = 0， ∴x1 = -1, x2 = 4

∴B (4,0)

∴OA =1, OB = 4, AB = 5.

∵AB2 = 25, AC2 =OA2 +OC2 = 5, BC2 =OC2 +OB2 = 20,

∴AC2 +BC2 =AB2.

∴△ABC是直角三角形.

（3）作出點C關于x軸的對稱點C′，則C′（0，2），OC′=2，連接C′D交x軸于點M，根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC +MD的值最小．

解法一：設拋物線的對稱軸交x軸于點E.

∵ED∥y軸, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM

∴△C′OM∽△DEM.

∴

∴，∴m=．

解法二：設直線C′D的解析式為y =kx +n ,

則，解得n = 2，.

∴.

∴當y = 0時，，

∴.