Question

【題目】在平面直角坐標系內，反比例函數和二次函數y=k（x2+x﹣1）的圖象交于點A（1，k）和點B（﹣1，﹣k）．
（1）當k=﹣2時，求反比例函數的解析式；
（2）要使反比例函數和二次函數都是y隨著x的增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值范圍；
（3）設二次函數的圖象的頂點為Q，當△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值．
（4）點C為x軸上一動點，且C點坐標為（2k，0），當△ABC是以AB為斜邊的直角三角形時，求K的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當k=﹣2時，A（1，﹣2），

∵A在反比例函數圖象上，

∴設反比例函數的解析式為：y= ，

代入A（1，﹣2）得：﹣2= ，

解得：m=﹣2，

∴反比例函數的解析式為：y=﹣

（2）

解：∵要使反比例函數和二次函數都是y隨著x的增大而增大，

∴k＜0，

∵二次函數y=k（x2+x﹣1）=k（x+ ）2﹣ k，對稱軸為：直線x=﹣ ，

要使二次函數y=k（x2+x﹣1）滿足上述條件，在k＜0的情況下，x必須在對稱軸的左邊，

即x＜﹣ 時，才能使得y隨著x的增大而增大，

∴綜上所述，k＜0且x＜﹣

（3）

解：方法一：

由（2）可得：Q（﹣ ，﹣ k），

∵△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形，A點與B點關于原點對稱，

∴原點O平分AB，

∴OQ=OA=OB，

作BD⊥OC，QC⊥OC，

∴OQ= = ，

∵OB= = ，

∴ = ，

解得：k=± ．

方法二：

拋物線的頂點Q（﹣ ，﹣ k），A（1，k），B（﹣1，﹣k），

∵△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形，

∴AQ⊥BQ，

∴KAQ×KBQ=﹣1，

∴ ，

∴ ，

k1= ，k2=﹣ ，

（4）

△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，

∴AC⊥BC，

∴KAC×KBC=﹣1，

∵A（1，k），B（﹣1，﹣k），C（2k，0），

∴ ，

∴3k2=1，

∴k1= ，k2=﹣ ．

【解析】方法一：（1）當k=﹣2時，即可求得點A的坐標，然后設反比例函數的解析式為：y= ，利用待定系數法即可求得答案；（2）由反比例函數和二次函數都是y隨著x的增大而增大，可得k＜0，又由二次函數y=k（x2+x﹣1）的對稱軸為x=﹣ ，可得x＜﹣ 時，才能使得y隨著x的增大而增大；（3）由△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形，A點與B點關于原點對稱，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q（﹣ ，﹣ k），A（1，k），即可得 = ，繼而求得答案．方法二：（1）略．（2）根據反比例函數及二次函數的增減性得出k及x的取值范圍．（3）設參數Q點坐標，由于AB為斜邊，得出AQ垂直BQ，利用黃金法則二列式便可求解．（4）列出A，B，C三點參數坐標，利用黃金法則二列式便可求解．
【考點精析】本題主要考查了反比例函數的性質和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．