Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點，F是AB邊上一點，BF=3AF，則下列四個結論：

①△AEF∽△DCE；

②CE平分∠DCF；

③點B、C、E、F四個點在同一個圓上；

④直線EF是△DCE的外接圓的切線；

其中，正確的個數是（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

試題分析：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠D=90°，

∵E是AD的中點，

∴AE=DE，

∵BF=3AF，

設AF=a，則BF=3a，AB=BC=CD=AD=4a，

∵AF：DE=1：2，AE：CD=1：2，

∴AE：DE=AE：CD，

∴△AEF∽△DCE，

∴①正確；∠AEF=∠DCE，

∵∠DEC+∠DCE=90°，

∴∠AEF+∠DEC=90°，

∴∠CEF=90°，

∵ ， ，

∴EF：CE=1：2=DE：CD，

∴△CEF∽△CDE，

∴∠FCE=∠DCE，

∴CE平分∠DCF，

∴②正確；

∵∠B=90°，∠CEF=90°，

∴∠B+∠CEF=180°，

∴B、C、E、F四個點在同一個圓上，

∴③正確；

∵△DCE是直角三角形，

∴外接圓的圓心是斜邊CE的中點，CE是直徑，

∵∠CEF=90°，

∴EF⊥CE，

∴直線EF是△DCE的外接圓的切線，

∴④正確，

正確的結論有4個．故選：D．