Question

（1997•北京）已知：如圖，把矩形紙片OABC放入直角坐標系xOy中，使OA、OC分別落在x軸、y軸的正半軸上，連接AC，將△ABC沿AC翻折，點B落在該坐標平面內，設這個落點為D，CD交x軸于點E．如果CE=5，OC、OE的長是關于x的方程x²+（m-1）x+12=0的兩個根，并且OC＞OE．
（1）求點D的坐標；
（2）如果點F是AC的中點，判斷點（8，-20）是否在過D、F兩點的直線上，并說明現由．

Answer 1

分析：（1）由于OC、OE的長是關于x的方程x²+（m-1）x+12=0的兩個根，故可設OC=x₁，OE=x₂，x₁＞x₂．由根與系數的關系可知，x₁+x₂=-（m-1）．x₁•x₂=12．在Rt△COE中，由勾股定理可得出關于m的一元二次方程，求出m的值，故可得出x的值，進而得出OC，OE的長．再根據△ABC沿AC翻折后，點B的落點為點D．過D點作DG⊥x軸于G．DH⊥y軸于H．由反折變換的性質得出∠BCA=∠ACD．在矩形OABC中，CB∥OA，所以∠BCA=∠CAE．∠CAE=∠ACD．故EC=EA．由HL定理判斷出Rt△COE≌Rt△ADE．在Rt△ADE中由DG•AE=ED•AD，
可得出DG的長，在△CHD中，因為OE∥HD，所以

CE

CD

=

CE

HD

可得出HD的長，再根據D是第四象限的點即可得出點D的坐標；
（2）根據F是AC的中點可得出點F的坐標，設過D、F兩點的直線的解析式為y=kx+b（k≠0）．把D、F兩點的坐標代入即可求出kb的值，故可得出其解析式，再把x=8，y=-20代入進行檢驗即可．

解答：解：（1）∵OC、OE的長是關于x的方程x²+（m-1）x+12=0的兩個根，
設OC=x₁，OE=x₂，x₁＞x₂．
∴x₁+x₂=-（m-1）．x₁•x₂=12．
在Rt△COE中，
∵OC²+OE²=CE²，CE=5．
∴x₁²+x₂²=5²，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=25．
∴[-（m-1）]²-2×12=25，
解這個方程，得m₁=-6，m₂=8．
∵OC+OE=x₁+x₂=-（m-1）＞0，
∴m=8不符合題意，舍去．
∴m=-6．
解方程x²-7x+12=0，得
x₁=4，x₂=3．
∴OC=4，OE=3．
△ABC沿AC翻折后，點B的落點為點D．過D點作DG⊥x軸于G．DH⊥y軸于H．
∴∠BCA=∠ACD．
∵矩形OABC中，CB∥OA．
∴∠BCA=∠CAE．
∴∠CAE=∠ACD．
∴EC=EA．
在Rt△COE與Rt△ADE中，
∵

OC=AD EC=EA

∴Rt△COE≌Rt△ADE．
∴ED=3，AD=4，EA=5．
在Rt△ADE中，DG•AE=ED•AD，
∴DG=

ED•AD

AE

=

12

5

，
在△CHD中，OE∥HD，
∴

CE

CD

=

CE

HD

，

5

5+3

=

3

HD

，
∴HD=

24

5

，
由已知條件可知D是第四象限的點，
∴點D的坐標是（

24

5

，-

12

5

）；

（2）∵F是AC的中點，
∴點F的坐標是（4，2），
設過D、F兩點的直線的解析式為y=kx+b．
∴

4k+b=2 24 5 k+b=- 12 5

，解得

k=- 11 2 b=24

，
∴過點D、F兩點的直線的解析式為y=-

11

2

x+24，
∵x=8，y=-20滿足上述解析式，
∴點（8，-20）在過D、F兩點的直線上．

點評：本題考查的是一次函數綜合題，涉及到圖形反折變換的性質、矩形的性質、全等三角形的判定與性質及用待定系數法求一次函數的解析式等相關知識，難度適中．