Question

（1997•北京）已知矩形的長大于寬的2倍，周長為12．從它的一個頂點作一條射線，將矩形分成一個三角形和一個梯形，且這條射線與矩形一邊所成的角的正切值等于

1

2

．設梯形的面積為S，梯形中較短的底的長為x，試寫出梯形面積S關于x的函數關系式，并指出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：畫出圖形，先求出矩形的較長的邊與較短的邊的范圍，然后分①AE與較短的邊的夾角的正切值等于

1

2

時，設BE=m，表示出AB，再根據矩形的周長列式表示出m，然后根據梯形的面積公式列式整理即可得解，再根據BE與BC的長度范圍求出x的取值范圍；②AE與較長的邊的夾角的正切值等于

1

2

時，設AB=CD=n，表示出BE，然后根據矩形的周長表示出m，再根據矩形的面積公式列式整理即可得解，再根據BE、BC的長度范圍求出x的取值范圍．

解答：解：∵矩形ABCD的長大于寬的2倍，矩形的周長為12，
∴AD＞4，AB＜2，
根據題意，可分為以下兩種情況：
第一種情況，如圖1，
當tan∠BAE=

1

2

時，設CE=x，BE=m，
則AB=DC=2m，AD=m+x，
∵AB+AD=6，
∴2（2m+m+x）=12，
m=

6-x

3

，
S_梯形AECD=

1

2

（AD+EC）•DC，
=

1

2

[（m+x）+x]•2m，
=m（m+2x），
=

6-x

3

•

6+5x

3

，
=-

5

9

x²+

8

3

x+4，

6-x

3

＞0，

6-x

3

+x＞4，
∴x＜6，x＞3，
∴x的取值范圍是3＜x＜6；

第二種情況，如圖2，
tan∠AEB=

1

2

時，
設CE=x，AB=CD=n，
則BE=2n，AD=2n+x，
∵矩形的周長為12，
∴AB+AD=6，
∴2（n+2n+x）=12，n=

6-x

3

，
S_梯形AECD=

1

2

（AD+EC）•DC，
=

1

2

[（2n+x）+x]•n，
=n（n+x），
=

6-x

3

•

6+2x

3

，
=-

2

9

x²+

2

3

x+4，
∵

6-x

3

＞0，2×

6-x

3

+x＞4，
∴x＜6，x＞0，
∴x的取值范圍是0＜x＜6．

點評：本題考查了矩形的性質，解直角三角形，梯形的面積公式，難點在于要分情況討論．