Question

（1997•北京）已知：關(guān)于x的方程x²-3x+2k-1=0的兩個實數(shù)根的平方和不小于這兩個根的積，且反比例函數(shù)y=

1+2k

x

的圖象的兩個分支在各自的象限內(nèi)y隨x的增大而減小．求滿足上述條件的k的整數(shù)值．

Answer 1

分析：先根據(jù)根的判別式得到△=（-3）²-4（2k-1）≥0，解得k≤

13

8

；再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=3，x₁•x₂=2k-1，由x₁²+x₂²≥x₁x₂得到9-3（2k-1）≥0，解得k≤2，
然后利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得到1+2k＞0，即k＞-

1

2

，則k的取值范圍為-

1

2

＜k≤

13

8

，再找出此范圍內(nèi)的整數(shù)即可．

解答：解：∵關(guān)于x的方程x²-3x+2k-1=0有兩個實數(shù)根，
∴△=（-3）²-4（2k-1）≥0，解得k≤

13

8

，
設(shè)方程x²-3x+2k-1=0的兩個根為x₁、x₂，則x₁+x₂=3，x₁•x₂=2k-1，
∵x₁²+x₂²≥x₁x₂，即（x₁+x₂）²-3x₁x₂≥0，
∴9-3（2k-1）≥0，解得k≤2，
∴k≤

13

8

，
∵反比例函數(shù)y=

1+2k

x

的圖象的兩個分支在各自的象限內(nèi)y隨x的增大而減小，
∴1+2k＞0，即k＞-

1

2

，
∴k的取值范圍為-

1

2

＜k≤

13

8

，
∴k的整數(shù)值為0、1．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判別式以及反比例函數(shù)的性質(zhì)．