Question

【題目】如圖，半圓O的直徑AB＝10，有一條定長為6的動弦CD在弧AB上滑動（點C、點D分別不與點A、點B重合），點E、F在AB上，EC⊥CD，FD⊥CD．

（1）求證：EO＝OF；

（2）聯結OC，如果△ECO中有一個內角等于45°，求線段EF的長；

（3）當動弦CD在弧AB上滑動時，設變量CE＝x，四邊形CDFE面積為S，周長為l，問：S與l是否分別隨著x的變化而變化？試用所學的函數知識直接寫出它們的函數解析式及函數定義域，以說明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）線段EF的長等于或；（3）．

【解析】

（1）過點O作OH⊥CD于H，由垂徑定理得出CH＝DH，證得EC∥OH∥FD，即可得出結論；

（2）由勾股定理求出，由平行線的性質得出∠ECO＝∠COH≠45°；分兩種情況討論：

①當∠EOC＝45°時，過點E作EM⊥OC于M，則△OEM是等腰直角三角形，得出EM＝OM，證明△ECM∽△COH，得出EM：CM＝CH：OH＝3：4．設EM＝3m，CM＝4m．則OM＝3m，EO＝OM＝m，由CM+OM＝OC，得出方程4m+3m＝5，解方程得出，即可得出，EF＝．

②當∠CEO＝45°時，過點O作ON⊥EC于N；．在Rt△CON中，ON＝CH＝3，CN＝OH＝4．在Rt△EON中，．得出即可．

（3）證明OH是梯形EFDC的中位線，由梯形中位線定理得出EC+FD＝2OH＝8，由梯形面積公式得出S＝（EC+FD）CD＝OHCD＝244×6＝24（0＜x＜8）；作FG⊥EC于G，則GC＝FD＝8﹣x，GF＝CD＝6，求出EG＝EC﹣GC＝2x﹣8，由勾股定理得 ，得出四邊形CDFE周長l＝EF+EC+CD+FD＝．

（1）證明：過點O作OH⊥CD于H，如圖所示：

則CH＝DH，

∵EC⊥CD，FD⊥CD，OH⊥CD，

∴EC∥OH∥FD，

∵CH＝DH，

∴EO＝FO；

（2）解：∵OH⊥CD，，

∴，

∴，

∵EC∥OH，

∴∠ECO＝∠COH≠45°；

①當∠EOC＝45°時，過點E作EM⊥OC于M，

則△OEM是等腰直角三角形，

∴EM＝OM，

∵∠ECM＝∠COH，∠CME＝∠OHC＝90°，

∴△ECM∽△COH，

∴EM：CM＝CH：OH＝3：4．

在Rt△ECM中，設EM＝3m，CM＝4m．則OM＝3m， ，

∵CM+OM＝OC，

∴4m+3m＝5，

解得： ，

∴，

．

②當∠CEO＝45°時，過點O作ON⊥EC于N；．

在Rt△CON中，ON＝CH＝3，CN＝OH＝4．

在Rt△EON中，．

∴．

綜上所述，線段EF的長等于或．

（3）解：四邊形CDFE的面積S不隨變量x的變化而變化，是一個不變量；

四邊形CDFE的周長l隨變量x的變化而變化．理由如下：

由①得：EO＝FO，CH＝DH，

∴OH是梯形EFDC的中位線，

∴EC+FD＝2OH＝8，

∴四邊形CDFE面積為（是一個常值函數）；

作FG⊥EC于G，則GC＝FD＝8﹣x，GF＝CD＝6，

∴EG＝EC﹣GC＝x﹣（8﹣x）＝2x﹣8，

∴，

∴四邊形CDFE周長

，

即．