Question

已知，如圖，O為正方形對角線的交點，BE平分∠DBC，交DC于點E，延長BC到點F，使CF=CE，連結DF，交BE的延長線于點G，連結OG．

（1）求證：△BCE≌△DCF．

（2）判斷OG與BF有什么關系，證明你的結論．

（3）若DF²=8﹣4，求正方形ABCD的面積？

Answer 1

【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理．

【分析】（1）利用正方形的性質，由全等三角形的判定定理SAS即可證得△BCE≌△DCF；

（2）首先證明△BDG≌△BGF，從而得到OG是△DBF的中位線，即可得出答案；

（3）設BC=x，則DC=x，BD=x，由△BGD≌△BGF，得出BF=BD，CF=（﹣1）x，利用勾股定理DF²=DC²+CF²，解得x²=2，即正方形ABCD的面積是2．

【解答】解：（1）證明：在△BCE和△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）OG∥BF且OG=BF，

理由：如圖，

∵BE平分∠DBC，

∴∠2=∠3，

在△BGD和△BGF中，

，

∴△BGD≌△BGF（ASA），

∴DG=GF，

∵O為正方形ABCD的中心，

∴DO=OB，

∴OG是△DBF的中位線，

∴OG∥BF且OG=BF；

（3）設BC=x，則DC=x，BD=x，由（2）知△BGD≌△BGF，

∴BF=BD，

∴CF=（﹣1）x，

∵DF²=DC²+CF²，

∴x²+[（﹣1）x]²=8﹣4，解得x²=2，

∴正方形ABCD的面積是2．