Question

如圖,是的角平分線, 延長交的外接圓于點,過三點的圓交的延長線于點，連結．
(1)求證：∽；
(2) 若, 求的長；
(3) 若∥, 試判斷的形狀，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：連結兩圓的相交弦
在圓中，，
在圓中，，
∴，
又因為是角平分線，得∠BAE=∠CAE，       
∴，
∵，
∴∽．             
（2）∵∽，
∴ ，             
∴，
∴．              
（3）證明：根據同弧上的圓周角相等，
得到：，，
∴，
∵=180°，
∴=180°，
又=180，
∴ ．
∵∥，，
又∵，
∴∠AEB =∠ABE ，
∴為等腰三角形．

（1）可通過證兩組對應角相等來證兩三角形相似．
（2）根據（1）中得出的相似三角形即可得出AE，DE，EF這三條線段的比例關系，有了AD，DE的長，即可求出EF的值．
（3）可通過證角的關系來得出三角形的形狀．