Question

【題目】定義：規(guī)定max（a，b）＝，例如：max（﹣1，2）＝2，max（3，3）＝3．

感知：已知函數(shù)y＝max（x+1，﹣2x+4）

（1）當(dāng)x＝3時(shí)，y＝_____；

（2）當(dāng)y＝3時(shí)，x＝______；

（3）當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，x的取值范圍為______；

（4）當(dāng)﹣1≤x≤4時(shí)，y的取值范圍為______；

探究：已知函數(shù)y＝max（x+2，）當(dāng)直線y＝m（m為常數(shù)）與函數(shù)y＝max（x+2，）（﹣6＜x≤3）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為_______；

拓展：已知函數(shù)y＝max（﹣x2+2nx，﹣nx）（n為常數(shù)且n≠0），當(dāng)n﹣3≤x≤2時(shí)，隨著x的增大，函數(shù)值y先減小后增大，直接寫(xiě)出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】感知：（1）4；（2）2或；（3）x≥1；（4）2≤y≤6；探究：﹣2＜m＜﹣或4＜m≤5；拓展：2≤n＜6或n≤﹣6．

【解析】

感知：（1）利用題中新定義即可得到結(jié)果；

（2）利用題中新定義可對(duì)y=3所對(duì)應(yīng)的的值進(jìn)行分類得到兩個(gè)方程，分別解方程即可求得結(jié)果；

（3）根據(jù)一次函數(shù)y=x+1和y=2x+4的圖象特征，當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，取函數(shù)y=x+1的圖象部分，依題意可列出不等式，解不等式即可得出結(jié)果；

（4）根據(jù)題中新定義可列出y關(guān)于x的解析式，根據(jù)解析式和x的取值范圍即可求得y的取值范圍；

探究：同理（4）可得函數(shù)的解析式并畫(huà)出圖象，根據(jù)題意和圖象即可求得m的取值范圍；

拓展：先求出y=nx和y=﹣x2+2nx的圖象交點(diǎn)，分n的情況可得函數(shù)的圖象，再根據(jù)圖象性質(zhì)與題意列出不等式求解即可．

解：感知：（1）當(dāng)x=3時(shí)，y=max(4，2)，

∴y=4，

故答案為：4；

（2）當(dāng)y=3時(shí)，

①當(dāng)x+1=3，則x=2，此時(shí)y=max(3，0)，

②當(dāng)﹣2x+4=3，則x=，此時(shí)y=max(，3)，

故答案為：2或；

(3)∵y隨x的增大而增大，

∴y=x+1，

∴x+1≥﹣2x+4，

∴x≥1，

故答案為：x≥1；

（4）∵max(a，b)=，

當(dāng)x+1<﹣2x+4時(shí)，y=﹣2x+4，此時(shí)x<1，

當(dāng)x+1≥﹣2x+4時(shí)，y= x+1，此時(shí)x≥1，

∴y=，

∵﹣1≤x≤4，

當(dāng)﹣1≤x<1時(shí)，y=﹣2x+4，此時(shí)2<y≤6，

當(dāng)1≤x≤4時(shí)，y=x+1，此時(shí)2≤y≤5，

∴2≤y≤6，

故答案為：2≤y≤6；

探究：∵y=max(x+2，)（﹣6<x≤3），

同理（4）得：y=，

如圖所示，實(shí)線部分即為其圖象，

由圖象可得：當(dāng)﹣6<x≤﹣4時(shí)，y=m與函數(shù)y=max(x+2，)（﹣6<x≤3）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則﹣2＜m≤﹣；

當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y=m與函數(shù)y=max(x+2，)（﹣6＜x≤3）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，4＜m≤5；

綜上所述：﹣2＜m≤﹣或4＜m≤5，

故答案為：﹣2＜m≤﹣或4＜m≤5；

拓展：y=﹣x2+2nx的對(duì)稱軸為x=n，

令﹣x2+2nx=﹣nx，

解得:x=0或x=3n，

∴函數(shù)y=﹣x2+2nx與y=﹣nx的交點(diǎn)為(0，0)和(3n，3n2)，

①當(dāng)n≥2時(shí)，如圖1，由圖象可知：0≤x≤2時(shí)，函數(shù)y=﹣x2+2nx隨x值的增大而增大，

由題意得：n3<0，

∴n＜6，

∴2≤n＜6；

②當(dāng)n<0時(shí)，如圖2，由圖象可得：n﹣3≥n，

∴n≤﹣6；

綜上所述：2≤n＜6或n≤﹣6．