Question

【題目】(1)發現：如圖1，點A為線段BC外一動點，且BC＝a，AB＝b．填空：

當點A位于　 　時，線段AC的長取得最大值，且最大值為　 　(用含a，b的式子表示)

(2)應用：點A為線段BC外一動點，且BC＝4，AB＝1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE．

①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；②直接寫出線段BE長的最大值．

(3)拓展：如圖3，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(2，0)，點B的坐標為(6，0)，點P為線段AB外一動點，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1)CB的延長線上， a+b；(2)①CD＝BE，理由見解析；②BE長的最大值為5；(3)滿足條件的點P坐標(2﹣，)或(2﹣，﹣)，AM的最大值為2+4．

【解析】

（1）根據點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，即可得到結論；（2）①根據已知條件易證△CAD≌△EAB，根據全等三角形的性質即可得CD＝BE；②由于線段BE長的最大值＝線段CD的最大值，根據（1）中的結論即可得到結果；（3）連接BM，將△APM繞著點P順時針旋轉90°得到△PBN，連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據全等三角形的性質得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根據當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，即可得到最大值為2+4；如圖2，過P作PE⊥x軸于E，根據等腰直角三角形的性質即可求得點P的坐標．如圖3中，根據對稱性可知當點P在第四象限時也滿足條件，由此求得符合條件的點P另一個的坐標．

(1)∵點A為線段BC外一動點，且BC＝a，AB＝b，

∴當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB＝a+b，

故答案為：CB的延長線上，a+b；

(2)①CD＝BE，

理由：∵△ABD與△ACE是等邊三角形，

∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，

∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，

即∠CAD＝∠EAB，

在△CAD與△EAB中， ，

∴△CAD≌△EAB(SAS)，

∴CD＝BE；

②∵線段BE長的最大值＝線段CD的最大值，

由(1)知，當線段CD的長取得最大值時，點D在CB的延長線上，

∴最大值為BD+BC＝AB+BC＝5；

(3)如圖1，

∵將△APM繞著點P順時針旋轉90°得到△PBN，連接AN，

則△APN是等腰直角三角形，

∴PN＝PA＝2，BN＝AM，

∵A的坐標為(2，0)，點B的坐標為(6，0)，

∴OA＝2，OB＝6，

∴AB＝4，

∴線段AM長的最大值＝線段BN長的最大值，

∴當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，

最大值＝AB+AN，

∵AN＝AP＝2，

∴最大值為2+4；

如圖2，

過P作PE⊥x軸于E，

∵△APN是等腰直角三角形，

∴PE＝AE＝，

∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝6﹣4﹣＝2﹣，

∴P(2﹣，)．

如圖3中，

根據對稱性可知當點P在第四象限時，P(2﹣，﹣)時，也滿足條件．

綜上所述，滿足條件的點P坐標(2﹣，)或(2﹣，﹣)，AM的最大值為2+4．