Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xoy中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B.動點P、Q分別從O、B同時出發，其中點P以每秒4個單位的速度沿OB向終點B運動,點Q以每秒5個單位的速度沿BA向終點A運動.設運動時間為t秒.

(1)連結PQ，若△AOB和以B、P、Q為頂點的三角形相似，求t的值；

(2)連結AP、OQ，若AP⊥OQ，求t的值；

(3)試證明：PQ的中點在△AOB的一條中位線上.

Answer 1

【答案】（1）當t=1或t=時，△AOB和以B、P、Q為頂點的三角形相似；（2）t=；（3）見解析.

【解析】

（1）根據一次函數解析式求出A、B坐標，得到OA、OB的值，然后分情況討論：①當時，△BPQ∽△BOA；②當時，△BPQ∽△BAO，根據比例式，分別代入數據求出t值即可；

（2）過點Q作QC⊥y軸，垂足為C，根據△BCQ∽△BOA可求出CQ=3t，CO=8-4t，然后根據AP⊥OQ利用同角的余角相等證明∠CQO=∠APO，進而得到△AOP∽△OCQ，根據相似三角形的性質列出比例式求解即可；

（3）首先求出P(0，4t)、Q(3t，8-4t)，可得PQ中點的坐標為（，4），由△AOB的一條中位線所在直線為y=4可得結論.

解：(1)令y=0，則，

解得：x=6，

∴A(6，0)，則OA=6，

令x=0，則y=8，

∴B(0，8)，則OB=8，

∵∠AOB=90°

∴AB=，

由已知得OP=4t，BQ=5t，

∴BP=8-4t，

∵∠OBA=∠PBQ，

∴分兩種情況討論

①當時，△BPQ∽△BOA，

∴，解得t=1；

②當時，△BPQ∽△BAO，

∴，解得t=，

綜上所述，當t=1或t=時，△AOB和以B、P、Q為頂點的三角形相似；

(2)過點Q作QC⊥y軸，垂足為C，

則CQ//OA，

∴△BCQ∽△BOA，

∴，

∴，

解得：BC=4t，CQ=3t，

∴CO=8-4t，

∵∠QCO=90°，

∴∠CQO+∠COQ=90°，

∵AP⊥OQ，

∴∠COQ+∠APO=90°，

∴∠CQO=∠APO，

∴△AOP∽△OCQ ，

∴，

∴

解得t=；

(3)由（2）得BC=4t，CQ=3t，OC=8-4t，

∴P(0，4t)、Q(3t，8-4t)，

∴PQ中點的坐標為（，4），

∵△AOB的一條中位線所在直線為y=4，

∴PQ的中點在△AOB的一條中位線上.