Question

【題目】AC是ABCD的一條對角線，過AC中點O的直線分別交AD，BC于點E，F．

（1）求證：AE=CF；

（2）連接AF，CE．

①當EF和AC滿足條件 時，四邊形AFCE是菱形；

②若AB=1，BC=2，∠B=60°，則四邊形AFCE為矩形時，EF的長是 ．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①EF⊥AC，理由見解析；②

【解析】試題分析：（1）由平行四邊形的性質可知OA=OC，∠AEO=∠OFC，∠EAO=∠OCF，證出△AOE≌△COF，即可得出AE=CF．

（2）①先證明四邊形AFCE是平行四邊形，由EF⊥AC，即可得出四邊形AFCE是菱形；②由矩形的性質得出EF=AC，∠AFB=∠AFC=90°，求出AF、CF，由勾股定理求出AC，即可得出EF的長．

試題解析：（1）證明：∵AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO.

∵O是AC的中點，

∴OA=OC，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF(ASA).

∴AE=CF.

(2)①當EF和AC滿足條件EF⊥AC時，四邊形AFCE是菱形；理由如下：如圖所示：

∵AE∥CF，AE=CF，

∴四邊形AFCE是平行四邊形，

又∵EF⊥AC，

∴四邊形AFCE是菱形；

②若四邊形AFCE為矩形，

則EF=AC，∠AFB=∠AFC=90°，

∵AB=1，BC=2,∠B=60°，

∴∠BAF=30°，

∴BF=AB=，

∴AF=BF=，CF=2=，

∴AC==，

∴EF=；

故答案為：