Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC= ．對角線AC，BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉，分別交BC，AD于點E，F．

（1）證明：當旋轉角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形；

（2）試說明在旋轉過程中，線段AF與EC總保持相等；

（3）在旋轉過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）四邊形BEDF可以是菱形．理由見解析；AC繞點O順時針旋轉45°時，四邊形BEDF為菱形．

【解析】試題分析：（1）當旋轉角為90°時，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可證明四邊形ABEF為平行四邊形；

（2）證明△AOF≌△COE即可；

（3）EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形，可根據勾股定理求得AC=2，∴OA=1=AB，又AB⊥AC，∴∠AOB=45°．

試題解析：（1）證明：當∠AOF=90°時，

∵∠BAO=∠AOF=90°，

∴AB∥EF，

又∵AF∥BE，

∴四邊形ABEF為平行四邊形．

（2）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

在△AOF和△COE中

．

∴△AOF≌△COE（ASA）．

∴AF=EC．

（3）解：四邊形BEDF可以是菱形．

理由：如圖，連接BF，DE

由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，

∴EF與BD互相平分．

∴當EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形．

在Rt△ABC中，AC==2，

∴OA=1=AB，

又∵AB⊥AC，

∴∠AOB=45°，

∴∠AOF=45°，

∴AC繞點O順時針旋轉45°時，四邊形BEDF為菱形．