Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．

（1）當∠BQD=30°時，求AP的長；
（2）證明：在運動過程中，點D是線段PQ的中點；
（3）當運動過程中線段ED的長是否發生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設AP=x，則BQ=x，

∵∠BQD=30°，∠C=60°，

∴∠QPC=90°，

∴QC=2PC，即x+6=2（6﹣x），

解得x=2，

即AP=2

（2）

證明：如圖，

過P點作PF∥BC，交AB于F，

∵PF∥BC，

∴∠PFA=∠FPA=∠A=60°，

∴PF=AP=AF，

∴PF=BQ，

又∵∠BDQ=∠PDF，∠DBQ=∠DFP，

∴△DQB≌△DPF，

∴DQ=DP即D為PQ中點

（3）

運動過程中線段ED的長不發生變化，是定值為3，

理由：∵PF=AP=AF，PE⊥AF，

∴ ，

又∵△DQB≌△DPF，

∴ ，

∴

【解析】（1）先判斷出∠QPC是直角，再利用含30°的直角三角形的性質得出QC=2PC，建立方程求解決即可；（2）先作出PF∥BC得出∠PFA=∠FPA=∠A=60°，進而判斷出△DQB≌△DPF得出DQ=DP即可得出結論；（3）利用等邊三角形的性質得出EF= AF，借助DF=DB，即可得出DF= BF，最后用等量代換即可．
【考點精析】掌握等邊三角形的性質是解答本題的根本，需要知道等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．