Question

【題目】（7分）（2015黃石）如圖，⊙O的直徑AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中點．

（1）求BC的長；

（2）過點D作DE⊥AC，垂足為E，求證：直線DE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見試題解析．

【解析】試題分析：（1）根據圓周角定理求得∠ADB的度數，然后解直角三角形即可求得BD，BC；

（2）要證明直線DE是⊙O的切線只要證明∠EDO=90°即可．

試題解析：（1）連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=，∵D是BC的中點，∴BC=2BD=；

（2）連接OD．∵D是BC的中點，O是AB的中點，∴DO是△ABC的中位線，∴OD∥AC，則∠EDO=∠CED，又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°，∴DE是⊙O的切線．