Question

【題目】如圖，在銳角中，，，的面積為33，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，以為直徑作圓交線段于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn).

（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，若點(diǎn)為中點(diǎn)，求的長.

（2）連結(jié)，若為等腰三角形，求所有滿足條件的值.

（3）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在上時(shí)，記的面積為，的面積，則的值為__________（直接寫出答案即可）.

Answer 1

【答案】(1);(2) 、2 、10;(3) .

【解析】

（1）連結(jié)，由為直徑，得，由面積法解得BE=6，根據(jù)勾股定理得CE=8，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以，，，；

（2）需分類討論， 分、、 ，①當(dāng)時(shí)，連結(jié)因?yàn)?/span>，，所以， .

②當(dāng)時(shí)，連結(jié)，因?yàn)?/span>，所以，，，③當(dāng)時(shí)，連結(jié)，因?yàn)?/span>，，可證，所以.

(3) 過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G, 過點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N, 過點(diǎn)E作EM⊥DP于點(diǎn)M, 過點(diǎn)E′作E′H⊥AB于點(diǎn)H,所以NEMD是矩形，根據(jù)面積易得CG，因?yàn)?/span>NE∥GC，E′H∥CG，所以得三角形相似，對應(yīng)邊成比例即可解答，具體過程見詳解.

（1）連結(jié)，∵為直徑，

∴，∴

，，

∵若點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，

∵，∴，

（2）情況1：，連結(jié)

∵，

，∴

情況2：，連結(jié)，，

∴，，

情況3：，連結(jié)，

∵，，∴，∴

（3）過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G, 過點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N, 過點(diǎn)E作EM⊥DP于點(diǎn)M, 過點(diǎn)E′作E′H⊥AB于點(diǎn)H,所以NEMD是矩形，S△ABC=×AB×CG,即 ×3×CG=33，解得CG= ,

由（1）得：AE=3，∵NE∥GC，∴AE:AC=NE：GC，即3:11=NE：，解得：NE==DM，由勾股定理得AN=，

∵BP是直徑，∴∠HDM=∠E′DE=90°，∠HDE′-∠E′DM =∠E′DE-∠E′DM，即∠HDE′=∠MDE，又∵DE′=DE，∠DHE′=∠DME=90°，∴△DHE′≌△DME,∴HE′=ME，DH= DM=， 所以 == ，在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG=,∵E′H∥CG，∴E′H：BH = CG：BG，即：E′H：BH=:=11：2，設(shè)E′H=11a，BH=2a,則E′H=11a=EM=ND，∵AN+ND+DH+HB=AB,即+11a++2a=3 ,解得：a=,∴DB=DH+HB=+2a=+2×=，AD=AN+ND=AN+HE′=+11a=

∵AN：AD=NE：DP, 即 ：= ：DP,∴DP=，∴==：

=.