Question

【題目】如圖是拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，拋物線的頂點坐標A（1，3），與x軸的一個交點B（4，0），直線y2=mx+n（m≠0）與拋物線交于A，B兩點，下列結論：

①2a+b=0；

②abc＞0；

③b2﹣4ac＞0；

④拋物線與x軸的另一個交點是（﹣1，0）；

⑤當1＜x＜4時，有y2＜y1；

⑥方程ax2+bx+c=3有兩個相等的實數根．

其中正確的有_____．

Answer 1

【答案】①③⑤⑥．

【解析】分析: ①利用對稱軸x＝1判定；

②根據圖象確定a、b、c的符號；

③根據拋物線與x軸交點的個數確定；

④根據對稱性判斷；

⑤由圖象得出，在1＜x＜4時，拋物線總在直線的上面，則y＜y；

⑥方程ax2＋bx＋c＝3的根，就是圖象上當y＝3是所對應的x的值．

綜上即可得出結論．

詳解: ①因為拋物線的頂點坐標A（1，3），所以對稱軸為：x＝1，則＝1，2a＋b＝0，故①正確；

②∵拋物線開口向下，

∴a＜0，

∵對稱軸在y軸右側，

∴b＞0，

∵拋物線與y軸交于正半軸，

∴c＞0，

∴abc＜0，

故②不正確；

③∵拋物線與x軸有兩個交點，

∴b24ac＞0，

故③正確；

④因為拋物線對稱軸是：x＝1，B（4，0），

所以拋物線與x軸的另一個交點是（2，0），

故④不正確；

⑤由圖象得：當1＜x＜4時，有y2＜y1；故⑤正確；

⑥∵拋物線的頂點坐標A（1，3），

∴方程ax2＋bx＋c＝3有兩個相等的實數根是x＝1，

故⑥正確；

則其中正確的有：①③⑤⑥；

故答案為：①③⑤⑥．

點睛: 本題選項較多，比較容易出錯，因此要認真理解題意，明確以下幾點是關鍵：①通常2a＋b的值都是利用拋物線的對稱軸來確定；②拋物線與x軸的交點個數確定其△的值，即b4ac的值：△＝b4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點；③知道對稱軸和拋物線的一個交點，利用對稱性可以求與x軸的另一交點．