Question

【題目】已知：在矩形ABCD中，點F為AD中點,點E為AB邊上一點，連接CE、EF、CF，EF平分∠AEC.

(1)如圖1，求證：CF⊥EF;

(2)如圖2，延長CE、DA交于點K, 過點F作FG∥AB交CE于點G若，點H為FG上一點，連接CH,若∠CHG=∠BCE, 求證：CH=FK;

(3)如圖3, 過點H作HN⊥CH交AB于點N,若EN=11,FH-GH=1,求GK長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)CN=25.

【解析】

(1)如圖，延長EF交CD延長線于點Q，先證明CQ=CE，再證明△FQD≌△FEA，根據全等三角形的對應邊相等可得EF=FQ，再根據等腰三角形的性質即可得CF⊥EF；

(2)分別過點F、H作FM⊥CE ，HP⊥CD，垂足分別為M、P，證明四邊形DFHP是矩形，繼而證明△HPC≌△FMK，根據全等三角形的性質即可得CH=FK；

(3)連接CN，延長HG交CN于點T，設∠DCF=α，則∠GCF=α， 先證明得到FG=CG=GE，∠CGT=2，再由FG是BC的中垂線，可得BG = CG， ∠CGT=∠FGK=∠BGT=2，再證明HN∥BG，得到四邊形HGBN是平行四邊形，繼而證明△HNC≌△KGF，推導可得出HT=CT=TN ，由FH-HG=1，所以設GH=m，則BN=m，FH=m+1，CE=2FG=4m+2，繼而根據，可得關于m的方程，解方程求得m的值即可求得答案.

(1)如圖，延長EF交CD延長線于點Q，

∵矩形ABCD，AB∥CD，

∴∠AEF=∠CQE， ∠A=∠QDF，

又∵EF 平分∠AEC ，

∴∠AEF=∠CEF，

∴∠CEF=∠CQE，

∴CQ=CE，

∵點F是AD中點，

∴AF=DF，

∴△FQD≌△FEA，

∴EF=FQ，

又∵CE=CQ，

∴CF⊥EF；

(2)分別過點F、H作FM⊥CE ，HP⊥CD，垂足分別為M、P，

∵CQ=CE ，CF⊥EF，

∴∠DCF=∠FCE，

又∵FD⊥CD，

∴FM=DF，

∵FG//AB，∴∠DFH=∠DAC=90°，

∴∠DFH=∠FDP=∠DPH=90°，

∴四邊形DFHP是矩形，

∴DF=HP，

∴FM= DF=HP，

∵∠CHG=∠BCE，AD∥BC，FG∥CD，

∴∠K=∠BCE=∠CHG=∠DCH，

又∵∠FMK=∠HPC=90°，

∴△HPC≌△FMK，

∴CH=FK；

(3)連接CN，延長HG交CN于點T，設∠DCF=α，則∠GCF=α，

∵FG∥CD ，∴∠DCF=∠CFG，

∴∠FCG=∠CFG，∴FG=CG，

∵CF⊥EF，

∴∠FEG+∠FCG=90°，∠CFG+∠GFE=90°，

∴∠GFE=∠FEG，∴GF=FE，

∴FG=CG=GE，∠CGT=2，

∵FG是BC的中垂線，

∴BG = CG， ∠CGT=∠FGK=∠BGT=2，

∵∠CHG=∠BCE=90°-2，∠CHN=90°，

∴∠GHN=∠FGK=∠BGT=2，

∴HN∥BG，

∴四邊形HGBN是平行四邊形，

∴HG=BN，HN=BG = CG =FG，

∴△HNC≌△KGF，

∴GK=CN，∠HNC=∠FGK=∠NHT=2，

∴HT=CT=TN ，

∵FH-HG=1，∴設GH=m，則BN=m，FH=m+1，CE=2FG=4m+2，

∵GT=，∴CN=2HT=11+2m，

∵，

∴

∴(舍去)，，

∴CN=GK=2HT=25.