Question

【題目】如圖，ABCD中，AB=2，以點A為圓心，AB為半徑的圓交邊BC于點E，連接DE、AC、AE．

（1）求證：△AED≌△DCA；

（2）若DE平分∠ADC且與⊙A相切于點E，求圖中陰影部分（扇形）的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）π．

【解析】試題分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AE，易證得四邊形AECD是等腰梯形，即可得AC=DE，然后由SSS，即可證得：△AED≌△DCA；

（2）由DE平分∠ADC且與⊙A相切于點E，可求得∠EAD的度數，繼而求得∠BAE的度數，然后由扇形的面積公式求得陰影部分（扇形）的面積．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AD∥BC，

∴四邊形AECD是梯形，

∵AB=AE，

∴AE=CD，

∴四邊形AECD是等腰梯形，

∴AC=DE，

在△AED和△DCA中，

，

∴△AED≌△DCA（SSS）；

（2）解：∵DE平分∠ADC，

∴∠ADC=2∠ADE，

∵四邊形AECD是等腰梯形，

∴∠DAE=∠ADC=2∠ADE，

∵DE與⊙A相切于點E，

∴AE⊥DE，

即∠AED=90°，

∴∠ADE=30°，

∴∠DAE=60°，

∴∠DCE=∠AEC=180°﹣∠DAE=120°，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠BAD=∠DCE=120°，

∴∠BAE=∠BAD﹣∠EAD=60°，

∴S陰影=×π×22=π．