Question

一玩具廠去年生產某種玩具，成本為10元/件，出廠價為12元/件，年銷售量為2萬件．今年計劃通過適當增加成本來提高產品檔次，以拓展市場．若今年這種玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年這種玩具每件的出廠價比去年出廠價相應提高0.5x倍，則預計今年年銷售量將比去年年銷售量增加x倍（本題中0＜x≤11）．
（1）用含x的代數式表示，今年生產的這種玩具每件的成本為______元，今年生產的這種玩具每件的出廠價為______元．
（2）求今年這種玩具的每件利潤y元與x之間的函數關系式．
（3）設今年這種玩具的年銷售利潤為w萬元，求當x為何值時，今年的年銷售利潤最大？最大年銷售利潤是多少萬元？
注：年銷售利潤=（每件玩具的出廠價-每件玩具的成本）×年銷售量．

Answer 1

（1）10+7x；12+6x；

（2）y=（12+6x）-（10+7x），
∴y=2-x （0＜x≤11）；

（3）∵w=2（1+x）•y
=2（1+x）（2-x）
=-2x²+2x+4，
∴w=-2（x-0.5）²+4.5
∵-2＜0，0＜x≤11，
∴w有最大值，
∴當x=0.5時，w_最大=4.5（萬元）．
答：當x為0.5時，今年的年銷售利潤最大，最大年銷售利潤是4.5萬元．