Question

如圖，在直角梯形OABC中，AB∥OC，O為坐標原點，點A在y軸正半軸上，點C在x軸正半軸上，點B的坐標為（2，2

3

），∠BCO=60°，OH⊥BC，垂足為H．動點P從點H出發，沿線段HO向點O運動，動點Q從點O出發，沿線段OA向點A運動，兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度．設點P運動的時間為ts．
（1）求OH的長；
（2）若△OPQ的面積為S（平方單位），求S與t之間的函數關系式．并求t為何值時，△OPQ的面積最大，最大值是多少？

Answer 1

解（1）∵AB∥OC，
∴∠OAB=∠AOC=90°，
在Rt△OAB中，AB=2，AO=2

3

，
∴OB=4，∠ABO=60°，
∴BOC=60°，
而∠BCO=60°，
∴△BOC為等邊三角形，
∴OH=2

3

；

（2）∵OP=OH-PH=2

3

-t，
∴xp=3-

3

2

t，yp=

3

-

t

2

，
所以S=

1

2

OQ×xp=

1

2

×t×（3-

3

2

t）=-

3

4

t²+

3

2

t（0＜t＜2

3

），
即S=-

3

4

(t-

3

)2+

3 3

4

∴當t=

3

時，S_最大=

3 3

4

．