Question

【題目】已知：如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數的圖像交x軸于點A，交y軸于點B，點C是點A關于y軸對稱的點，過點C作y軸平行的射線CD，交直線AB與點D，點P是射線CD上的一個動點．

（1）求點A、B的坐標．

（2）如圖2，將△ACP沿著AP翻折，當點C的對應點E落在直線AB上時，求點P的坐標．

（3）若直線OP與直線AD有交點，不妨設交點為Q（不與點D重合），連接CQ，是否存在點P，使得S△CPQ =2S△DPQ，若存在，請直接寫出點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A的坐標為（—3，0），B坐標為（0，4）；（2）點P的坐標(3，3)；（3）點P坐標為（3，）或（3，16）

【解析】

(1)令y=0，則，解得：x=-3，令x=0，則，即可得到答案；

(2)先求出AC=6，CD=8，AD=10，再設CP=y ，則DP=8-y，EP=y，在RtDEP中，根據勾股定理，列方程，即可求解；

(3)當S△CPQ =2S△DPQ時，CP=2DP，分兩種情況討論：①若點P在線段CD上時，②若點P在線段CD的延長線上時，即可求解.

（1）令y=0，則，解得：x=-3，

令x=0，則

∴A的坐標為（-3，0），B坐標為（0，4）．

（2）∵點C是點A關于y軸對稱的點，

∴點C的坐標是：（3，0），

∴D的坐標為（3，8），

∴AC=6，CD=8，AD=10，

設CP=y ，則DP=8-y，EP=y，

∵AE=AC=6，

∴ED=AD-AE=10-6=4，

∵在RtDEP中，，

∴，

解得：y=3，

∴點P的坐標(3，3)．

（3）當S△CPQ =2S△DPQ時，CP=2DP，分兩種情況討論：

①若點P在線段CD上時，如圖3，

∵CP=2DP，CD=8，

∴CP=CD=×8=，

∴點P坐標為（3，），

②若點P在線段CD的延長線上時，如圖4，

∵CP=2DP，

∴DP=CD=8，

∴點P坐標為（3，16），

綜上所述：點P坐標為（3，）或（3，16）.

圖3 圖4