Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，D、E為⊙O上位于AB異側的兩點，連接BD并延長至點C，使得CD=BD，連接AC交⊙O于點F，連接AE、DE、DF．

（1）證明：∠E=∠C；
（2）若∠E=55°，求∠BDF的度數；
（3）設DE交AB于點G，若DF=4，cosB= ，E是 的中點，求EGED的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵CD=BD，

∴AD垂直平分BC，

∴AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵∠B=∠E，

∴∠E=∠C；

（2）

解：∵四邊形AEDF是⊙O的內接四邊形，

∴∠AFD=180°-∠E，

又∵∠CFD=180°-∠AFD，

∴∠CFD=∠E=55°，

又∵∠E=∠C=55°，

∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；

（3）

解：連接OE，

∵∠CFD=∠E=∠C，

∴FD=CD=BD=4，

在Rt△ABD中，cosB= ，BD=4，

∴AB=6，

∵E是 的中點，AB是⊙O的直徑，

∴∠AOE=90°，

∵AO=OE=3，

∴AE=3 ，

∵E是 的中點，

∴∠ADE=∠EAB，

∴△AEG∽△DEA，

∴ ，

即EGED=AE2=18．

【解析】（1）直接利用圓周角定理得出AD⊥BC，勁兒利用線段垂直平分線的性質得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；（2）利用圓內接四邊形的性質得出∠AFD=180°﹣∠E，進而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；（3）根據cosB= ，得出AB的長，再求出AE的長，進而得出△AEG∽△DEA，求出答案即可．此題主要考查了圓的綜合題、圓周角定理以及相似三角形的判定與性質以及圓內接四邊形的性質等知識，根據題意得出AE，AB的長是解題關鍵．