Question

【題目】在等邊△ABC中，E為BC邊上一點，G為BC延長線上一點，過點E作∠AEM=60°，交∠ACG的平分線于點M．
（1）如圖（1），當點E在BC邊的中點位置時，通過測量AE，EM的長度，猜想AE與EM滿足的數量關系是；

（2）如圖（2），小晏通過觀察、實驗，提出猜想：當點E在BC邊的任意位置時，始終有AE=EM．小晏把這個猜想與同學進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：
想法1：在BA上取一點H使AH=CE，連接EH，要證AE=EM，只需證△AHE≌△ECM．
想法2：找點A關于直線BC的對稱點F，連接AF，CF，EF．（易證∠BCF+∠BCA+ACM=180°，所以M，C，F三點在同一直線上）要證AE=EM，只需證△MEF為等腰三角形．
想法3：將線段BE繞點B順時針旋轉60°，得到線段BF，連接CF，EF，要證AE=EM，只需證四邊形MCFE為平行四邊形．
請你參考上面的想法，幫助小晏證明AE=EM．（一種方法即可）

Answer 1

【答案】
（1）相等
（2）

解：想法一：如圖2，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠B=60°．

∵AH=CE，∴BH=BE．

∴∠BHE=60°．

∴AC∥HE．

∴∠1=∠2．

在△AOE和△COM中，∠ACM=∠AEM=60°，∠AOE=MOE，

∴∠1=∠3．

∴∠2=∠3．

∵∠BHE=60°，

∴∠AHE=120°．

∵∠ECM=120°．

∴∠AHE=∠ECM．

∵AH=CE，

∴△AHE≌△ECM（AAS）．

∴AE=EM．

想法二：如圖3，

∵在△AOE和△COM中，

∠ACM=∠AEM=60°，

∠AOE=∠COM，

∴∠EAC=∠EMC．

又由對稱可知△ACE≌△FCE，

∴∠EAC=∠EFC，AE=EF．

∴∠EMC=∠EFC．

∴EF=EM．

∴AE=EM．

想法三：如圖4，

∵將線段BE繞點B順時針旋轉60°，

∴可證△ABE≌△CBF（SAS）．

∴∠1=∠2 AE=CF．

∵∠AEM=∠CBA=60°，

∴∠1=∠CEM．

∴∠2=∠CEM．

∴EM∥CF．

∵∠CBF=60°，BE=BF，

∴∠BEF=60°，

∴∠MCE=∠CEF=120°．

∴CM∥EF．

∴四邊形MCFE為平行四邊形．

∴CF=EM．

∴AE=EM

【解析】解：（1）相等．
證明如下：
如圖1，取AB的中點N，連接EN，

∵△ABC為等邊三角形，E、N為中點，
∴AE⊥BC，且AE平分∠BAC，
∴AN=NE=EC，∠NAE=∠NEA=30°，
∴∠ANE=120°，
∵∠AEM=60°，
∴∠MEC=30°，
∴∠NAE=∠CEM，
∵CM平分∠ACG，
∴∠ACM=60°，
∴∠ECM=∠ANE=120°，
在△ANE和△ECM中

∴△ANE≌△ECM（ASA），
∴AE=EM；
所以答案是：相等；
【考點精析】通過靈活運用三角形的“三線”和三角形的面積，掌握1、三角形角平分線的三條角平分線交于一點(交點在三角形內部，是三角形內切圓的圓心，稱為內心);2、三角形中線的三條中線線交于一點(交點在三角形內部，是三角形的幾何中心，稱為中心);3、三角形的高線是頂點到對邊的距離；注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內；三角形的面積=1/2×底×高即可以解答此題．