Question

【題目】如圖，，，點A在上，四邊形是矩形，連接、交于點E，連接交于點F．下列4個判斷：①平分；②；③；④若點G是線段的中點，則為等腰直角三角形．正確判斷的個數是（ ）

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】A

【解析】

①，先說明△OBD是等腰三角形，再由矩形的性質可得DE=BE，最后根據等腰三角形的性質即可判斷；②證明△OFA≌△OBD即可判斷；③過F作FH⊥AD，垂足為H,然后根據角平分線定理可得FH=FA,再求得∠HDF=45°，最后用三角函數即可判定；④連接AG,然后證明△OGA≌△ADE,最后根據全等三角形的性質和角的和差即可判斷．

解：①∵

∴△OBD是等腰三角形

∵四邊形是矩形

∴DE=BE=BD，DA⊥OB

∴平分，OE⊥BD故①正確；

②∵OE⊥BD, DA⊥OB，即∠DAO=∠DAB

∴∠EDF+∠DFE=90°，∠AOF+∠AFO=90°

∵∠EDF=∠AOF

∵DA⊥OB，

∴OA=AD

在△OFA和△OBD中

∠EDF=∠AOF ,OA=AD,∠DAO=∠DAB

∴△OFA≌△DAB

∴OF=BD,即②正確；

③過F作FH⊥OD，垂足為H,

∵平分，DA⊥OB

∴FH=AF

∵，DA⊥OB

∴∠HDF=45°

∴sin∠HDF=,即；故③正確；

④由②得∠EDF=∠AOF，

∵G為OF中點

∴OG=OF

∵DE=BE=BD，OF=BD

∴OG=DE

在△OGA和△AED中

OG=DE, ∠EDF=∠AOF，AD=OA

∴△OGA≌△AED

∴OG=EF,∠GAO=∠DAE

∴△GAE是等腰三角形

∵DA⊥OB

∴∠OAG+∠DAG=90°

∴∠DAE+∠DAG =90°,即∠GAE=90°

∴△GAE是等腰直角三角形，故④正確．

故答案為A．