Question

【題目】如圖，已知矩形，對角線的垂直平分線分別交，和于點，，．，的延長線交于點，且，連接．

（1）求證：

（2）求證：平分．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析．

【解析】

（1）垂直平分線的定義可得∠EOD=90°，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠FCG=90°，AD//BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DEO=∠CFG，利用AAS即可證明△DOE≌△GCF；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得OE=CF，利用AAS可證明，可得DE=BF，根據(jù)線段的和差關(guān)系可得AE=CF，即可得出AE=OE，根據(jù)到角兩邊距離相等的點在角的角平分線上即可得出BE平分∠ABD．

（1）∵是垂直平分線，

∴，

∵四邊形是矩形，

∴，，

∴，，

∴，

在△DOE和△GCF中，，

∴△DOE≌△GCF．

（2）由（1）可得：

，

∵是垂直平分線，

∴，

在△EOD和△FOB中，

∴，

∴，

∵，

∴AD-DE=BC-BF，即AE=CF，

∴AE=OE，

∵∠A=∠BOE=90°，

∴平分．