Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB=16，以AB為直徑的⊙O與BC邊相交于點D，與AC交于點F，過點D作DE⊥AC于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）求CE的長；

（3）過點B作BG∥DF，交⊙O于點G，求弧BG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）8-4（3）4π

【解析】

（1）如圖1，連接AD，OD，由AB為⊙O的直徑，可得AD⊥BC，再根據AB=AC，可得BD=DC，再根據OA=OB，則可得OD∥AC，繼而可得DE⊥OD，問題得證；

（2）如圖2，連接BF，根據已知可推導得出DE=BF，CE=EF，根據∠A=30°，AB=16，可得BF=8，繼而得DE=4，由DE為⊙O的切線，可得ED2=EFAE，即42=CE（16﹣CE），繼而可求得CE長；

（3）如圖3，連接OG，連接AD，由BG∥DF，可得∠CBG=∠CDF=30°，再根據AB=AC，可推導得出∠OBG=45°，由OG=OB，可得∠OGB=45°，從而可得∠BOG=90°，根據弧長公式即可求得的長度.

（1）如圖1，連接AD，OD；

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=DC，

∵OA=OB，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴∠ODE=∠DEA=90°，

∴DE為⊙O的切線；

（2）如圖2，連接BF，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AFB=90°，

∴BF∥DE，

∵CD=BD，

∴DE=BF，CE=EF，

∵∠A=30°，AB=16，

∴BF=8，

∴DE=4，

∵DE為⊙O的切線，

∴ED2=EFAE，

∴42=CE（16﹣CE），

∴CE=8﹣4，CE=8+4（不合題意舍去）；

（3）如圖3，連接OG，連接AD，

∵BG∥DF，

∴∠CBG=∠CDF=30°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=75°，

∴∠OBG=75°﹣30°=45°，

∵OG=OB，

∴∠OGB=∠OBG=45°，

∴∠BOG=90°，

∴的長度==4π．