Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（﹣1， ），B（2，0）在拋物線11：y=ax2+bx+1（a，b為常數，且a≠0）上，直線12經過拋物線11的頂點且與y軸垂直，垂足為點D．

（1）求l1的解析式，并寫出它的對稱軸和頂點坐標；
（2）設l1上有一動點P從點A出發，沿拋物線從左向右運動，點P的縱坐標yp也隨之以每秒2個單位長的速度變化，設點P運動的時間為t（秒），連接OP，以線段OP為直徑作⊙F．
①求yp關于t的表達式，并寫出t的取值范圍；
②當點P在起點A處時，直線l2與⊙F的位置關系是 ， 在點P從點A運動到點D的過程中，直線12與⊙F是否始終保持著上述的位置關系？請說明理由；
（3）在（2）條件下，當點P開始從點A出發，沿拋物線從左到右運動時，直線l2同時向下平移，垂足D的縱坐標yD以每秒3個單位長度速度變化，當直線l2與⊙F相交時，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點A（﹣1， ），B（2，0）代入拋物線11：y=ax2+bx+1中得：

解得 ，

∴y=﹣ x2+1 則對稱軸為：直線x=0，頂點為（0，1）

（2）相切
（3）

解：設點P坐標（m，﹣ m2+1），則點F坐標（ m，﹣ m2+ ），

∵OP= = m2+1，

∴⊙F的半徑= m2+ ，

∴直線y=﹣ m2+ ﹣（ m2+ ）=﹣ m2與⊙F相切，

∵t＞ 時，﹣ m2+1=1﹣2（t﹣ ），

∴﹣ m2=﹣2t+ ，

當1﹣3t=﹣2t+ 時直線l2與⊙F相切，解得t= ，

∴當0＜t＜ 時，⊙F與直線l2相交

【解析】解：（2）①由題意1﹣ =2t解得t= ，
∴0≤t 時，yP= +2t，
t＞ 時，yP=1﹣2（t﹣ ）= ﹣2t．
②當點P在起點A處時，OA= = ，
∴⊙F的半徑為 ，
∵點F坐標（﹣ ， ），
∴點F到直線y=1的距離為 ，
∴點F到直線y=1的距離等于⊙F的半徑，
∴直線l2與⊙F相切，
所以答案是相切．
結論：在點P從點A運動到點D的過程中，直線12與⊙F始終保持相切．
理由：設點P坐標（m，﹣ m2+1），則點F坐標（ m，﹣ m2+ ），
∵OP= = m2+1，
∴⊙F的半徑= m2+ ，
∵點F到直線y=1的距離為1﹣（﹣ m2+ ）= m2+ ，
∴點F到直線y=1的距離等于⊙F的半徑，
∴在點P從點A運動到點D的過程中，直線12與⊙F始終保持相切．