Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2 ，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，下列結論：①△DFE是等腰直角三角形；②四邊形CEDF的周長不變；③點C到線段EF的最大距離為1．其中正確的結論有 ． （填寫所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①③
【解析】解：①連接CD；

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
∵AE=CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．
∴①正確；
②當E、F分別為AC、BC中點時，EF取最小值，
∴EF的值是變化的，
∴DE和DF也是變化的，
∴四邊形CEDF的周長變，
∴②不正確，
③△DEF是等腰直角三角形， DE=EF，
當EF∥AB時，∵AE=CF，
∴E，F分別是AC，BC的中點，故EF是△ABC的中位線，
∴EF取最小值 =2，∵CE=CF= ，∴此時點C到線段EF的最大距離= EF=1，
∴③正確，
所以答案是：①③
【考點精析】利用等腰直角三角形對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°．