Question

如圖在Rt△AOB中，∠BAO=90°，O為坐標原點，B在x軸正半軸上，A在第一象限，OA和AB的長是方程兩根，且OA＜AB．
（1）求直線AB的解析式；
（2）將△AOB沿垂直于x軸的線段CD折疊（點C在x軸上，且不與點B重合，點D在線段AB上），使點B落在x軸上，對應點為E，是否存在這樣的點C，使得△AED為直角三角形？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵x²-3+10=0，
即（x-）（x-2）=0，
∴x₁=，x₂=2，
∵OA和AB的長是方程x²-3+10=0的兩根，且OA＜AB，
∴OA=，AB=2，
∵∠BAO=90°，
∴OB==5，
作AF⊥x軸于F，如圖①：
則AF===2，
∴OF===1，
∴A（1，2），B（5，0），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
則有，
解得，
∴直線AB的解析式為：y=-x+；

（2）存在．
分兩種情況討論：
ⅰ）當Rt△AED以點A為直角頂點時，點E與原點O重合，如圖②．
∵OC=BC=OB=，
∴C₁（，0）；
ⅱ）當Rt△AED以點E為直角頂點時，如圖③，過點A作AF⊥x軸于F．
則OF=1．
∵∠AED=90°，
∴∠AEO+∠DEC=90°．
∵∠DEC=∠DBC，
∴∠AEO+∠DBC=90°．
又∵∠AOE+∠DBC=90°，
∴∠AOE=∠AEO．
∴△AOE是等腰三角形，
∴OE=2OF=2，
∴BE=3．
∴EC=，
∴OC=OE+EC=2+=．
∴C₂（，0）．
綜上所述，存在這樣的點C，使得△AED為直角三角形，點C的坐標為：C₁（，0）和C₂（，0）．
分析：（1）由OA和AB的長是方程x²-3+10=0的兩根，且OA＜AB，解此方程即可求得OA與AB的長，然后由勾股定理求得OB的長，則可求得點B的坐標；然后作AF⊥x軸于F，由直角三角形的性質，即可求得AF的長，繼而由勾股定理求得OF的長，即可求點A的坐標，然后由待定系數法求得直線AB的解析式；
（2）分別從ⅰ）當Rt△AED以點A為直角頂點時，點E與原點O重合與ⅱ）當Rt△AED以點E為直角頂點時去分析求解即可求得答案．
點評：此題考查了待定系數法求一次函數的解析式、直角三角形的性質、等腰三角形的判定與性質以及一元二次方程的解法．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數形結合思想的應用．