Question

如圖在Rt△AOB中，∠BAO=90°，O為坐標原點，B在x軸正半軸上，A在第一象限．OA和AB的長是方程x2-3

5

x+10=0兩根，且OA＜AB．
（1）求直線AB的解析式；
（2）將△AOB沿垂直于x軸的線段CD折疊（點C在x軸上，且不與點B重合，點D在線段AB上），使點B落在x軸上，對應點為E，設點C的坐標為（x，0）．
①是否存在這樣的點C，使得△AED為直角三角形？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；
②設△CDE與△AOB重疊部分的面積為S，直接寫出S與點C的橫坐標x之間的函數關系式（包括自變量x的取值范圍）．

Answer 1

分析：（1）根據題意可直接求出OA、AB的長，又∠BAO=90°，由勾股定理可求OB，作OB邊上的高AF，用面積法及勾股定理可求0F、AF，從而得出A點坐標，根據“兩點法”求直線AB解析式．
（2）△AED按直角頂點分為兩類：①A點為直角頂點，此時E、O兩點重合，C點為OB的中點；②E點為直角頂點，過點A作AF⊥x軸于F，利用等腰三角形的性質解題．

解答：解：（1）解方程x2-3

5

x+10=0得兩根為x1=

5

，x2=2

5

因為OA和AB的長是方程x2-3

5

x+10=0兩根，且OA＜AB
所以OA=

5

，AB=2

5

而∠BAO=90°，則OB=

( 5 )2+(2 5 )2

=5
作AF⊥x軸于F，如圖
則AF=

OA•AB

OB

=

5 •2 5

5

=2
那么OF=

( 5 )2-22

=1
∴A（1，2），B（5，0）．
設直線AB的解析式為y=kx+b，則有

k+b=2 5k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b= 5 2

．
∴直線AB的解析式為y=-

1

2

x+

5

2

．

（2）①存在．
分兩種情況討論：
ⅰ）當Rt△AED以點A為直角頂點時，點E與原點O重合，如圖．
∵OC=BC=

1

2

OB=

5

2

∴C₁（

5

2

，0）；
ⅱ）當Rt△AED以點E為直角頂點時，如圖，過點A作AF⊥x軸于F．OF=1．
∵∠AED=90°，
∴∠AEO+∠DEC=90°．
∵∠DEC=∠DBC，
∴∠AEO+∠DBC=90°．
又∵∠AOE+∠DBC=90°，
∴∠AOE=∠AEO．
∴△AOE是等腰三角形，
∴OE=2OF=2，
∴BE=3．
∴EC=

3

2

，
∴OC=OE+EC=2+

3

2

=

7

2

．
∴C₂（

7

2

，0）．
綜上所述，存在這樣的點C，使得△AED為直角三角形，點C的坐標為：
C₁（

5

2

，0）和C₂（

7

2

，0）．
②當1≤x＜

5

2

時，△CDE與△AOB重疊部分的面積即為△CDE的面積，由直角三角形的面積公式即可求解；
S與x之間的函數關系式如下：
S=

- 13 12 x2+ 50 12 x- 25 12 (1≤x＜ 5 2 ) 1 4 x2- 5 2 x+ 25 4 ( 5 2 ≤x＜5)

．

點評：本題考查了點的坐標的求法，待定系數法求直線解析式，折疊問題及分類討論的數學思想．