Question

【題目】已知二次函數y=x2﹣2mx+m2+3（m是常數）．
（1）求證：不論m為何值，該函數的圖象與x軸沒有公共點；
（2）把該函數的圖象沿y軸向下平移多少個單位長度后，得到的函數的圖象與x軸只有一個公共點？
（3）將拋物線y=x2﹣2mx+m2+3（m是常數）圖象在對稱軸左側部分沿直線y=3翻折得到新圖象為G，若與直線y=x+2有三個交點，請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0，

∴方程x2﹣2mx+m2+3=0沒有實數解，

即不論m為何值，該函數的圖象與x軸沒有公共點

（2）解：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3，

把函數y=（x﹣m）2+3的圖象沿y軸向下平移3個單位長度后，得到函數y=（x﹣m）2的圖象，它的頂點坐標是（m，0），

因此，這個函數的圖象與x軸只有一個公共點，

所以，把函數y=x2﹣2mx+m2+3的圖象沿y軸向下平移3個單位長度后，得到的函數的圖象與x軸只有一個公共點

（3）解：翻折后所得圖象的解析式y=﹣（x﹣m）2+3，

①當直線y=x+2與拋物線y=x2﹣2mx+m2+3有一個交點時，則 ，

整理得，x2﹣（2m+1）x+m2+1=0

∴△=（2m+1）2﹣4（m2+1）=0，即m= ．

②當直線y=x+2與拋物線y=﹣（x﹣m）2+3有一個交點時，則 ，

整理得，x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0，

∴△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）=0，即m= ．

∴當 ＜m＜ 時，新圖象為G，與直線y=x+2有三個交點

【解析】（1）求出根的判別式，即可得出答案；（2）先化成頂點式，根據頂點坐標和平移的性質得出即可．（3）求出翻折后所得圖象的解析式，然后分別求出原圖象和直線，翻折后所得圖象與直線有一個交點時的m的值，即可求得新圖象為G與直線y=x+2有三個交點時的m的取值．